[問題] Proof of L'Hospital
對不起喔佔了那麼多篇文章 也麻煩了板上一些大大
當初補習班老師只證 lim x→a+ 的form，他是這樣證的：
if f(a)=0=g(a) , g'(a+)=/=0 ,f'(a+) exists
then
lim_{x→a+} f(x)/g(x)
=lim_{x→a+} [f(x)-f(a)]/[g(x)-g(a)]
=lim_{x→a+} {[f(x)-f(a)]/(x-a)} / {[g(x)-g(a)]/(x-a)}
=lim_{x→a+} {[f(x)-f(a)]/(x-a)} / lim_{x→a+} {[g(x)-g(a)]/(x-a)} --(1)
= f'(a+) / g'(a+) ---(2)
=lim_{x→a+} f'(x) / g'(x) ---(3)
(2)→(3) 需要C^1吧 好吧 先饒過它
我的問題是 現在如果要證：
if f(∞)=0=g(∞) , g'(∞)=/=0 ,f'(∞) exists
then
lim_{x→∞} f(x)/g(x)
let x=1/u
=lim_{u→+0} f(1/u)/g(1/u)
=lim_{u→+0} {[f(1/u)-0]/(u-0)} / {[g(1/u)-0]/(u-0)} ----(1)
從(1)
如果直接跳到(3)
我們得到
lim_{u→+0} f'(1/u)*(-1/u^2) / g'(1/u)*(-1/u^2)
= lim_{u→+0} f'(1/u) / g'(1/u)
這樣OK，But why?? 怎麼證
如果仿造補習班老師的證法
從(1)→(2)
我們得到
[f'(1/u)*(-1/u^2)│u=0+] / [g'(1/u)*(-1/u^2)│u=0+]
怪事發生了
(-1/u^2)來不及消掉就先取lim了
-----
總結：有(1)→(3)的證法嗎??
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.251.228.206
→
07/06 19:49, , 1F
07/06 19:49, 1F
→
07/06 19:50, , 2F
07/06 19:50, 2F