[機統] 兩個獨立高斯變數的四則運算

看板Math作者take99999 ( 沒有弧的世界)時間14年前 (2011/04/28 11:43)推噓1(1推 0噓 13→)

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請問一下數學我的問題是：如果兩個independent variable x, y 然後各有各的高斯分布μx, σx, μy, σy 如果z=x+y時候，μz=μx+μy，μz = 根號[(σx)^2+(σy)^2] 那如果是z=x*y以及z=x/y時候，μz和σz各是多少？因為我希望求得z=x並聯y時候[ z=(x*y)/(x+y) ]的μz和σz，所以想分別求得 (x*y)的高斯分布，以及(x+y)的高斯分布，然後再將兩者相除我找到z=x*y時候還會是高斯分布，z=x/y時候就變成另外一個分布Cauchy distribution (from: http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution When X and Y are independent and have a Gaussian distribution with zero mean the form of their ratio distribution is fairly simple: It is a Cauchy distribution) 並且看到有兩個說法：說法一：已知建立在x, y, z都是高斯變數的情況下 (而沒提到x, y 是否互相獨立) 如果z=x*y σz = 根號 { [(σx)^2 * (σy)^2] / [(σx)^2 + (σy)^2] } μz = [μx*(σy)^2 + μy*(σx)^2] / [(σx)^2 + (σy)^2] 來源：https://people.ok.ubc.ca/jbobowsk/phys327/Gaussian%20Convolution.pdf 說法二：只說x, y是兩變數，而且未說是高斯分布，也未說是否互相獨立 a.如果z=x*y： σz = 根號 [ (σx)^2 / (μx)^2 + (σy)^2 / (μy)^2 ] 而未說μz b.如果z=x/y： σz = (μx/μy)* { 根號 [ (σx)^2 / (μx)^2 + (σy)^2 / (μy)^2 - 2*Cov{x,y} / (μx)*(μy) ] } 來源：http://www.radiation-scott.org/Standard%20Deviation%20for%20SumBOLD.doc 希望有人可以 a.從最廣義的x, y 是任意兩非高斯分布變數，然後列出怎麼得到 z=x+y, z=x*y, z=x/y的相關關係， b.然後化簡或額外討論到x, y是兩高斯變數，得到此情況下z=x+y, z=x*y, z=x/y的μ和σ c.如果x, y是互相獨立的兩高斯變數，所對應到的z=x+y, z=x*y, z=x/y的μ和σ d.如果在b.情況下, z=x/y不是高斯變數，那麼有其他辦法得到最原先的問題 z=x並聯y=(x*y)/(x+y)嘛?或者簡化過的近似解，謝謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 210.80.67.18 ※ 編輯: take99999 來自: 210.80.67.18 (04/28 11:44)

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yhliu

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