[分析] 證明(1+x/n)^n converges uniformly

看板Math作者 (パイナップル)時間15年前 (2011/04/12 16:11), 編輯推噓2(2推 0噓 7→)
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應該是很常見的問題 給定[0,a] 想請問要如何證明(1+x/n)^n converges uniformly on [0,a]啊? 我只知道他會converges to e^x 可是怎證明是uniformly就不知道了 有人可以給點提示嗎? 謝謝!! -- Stirling's formula: 1 log(2π) ∞ B_1(t) logΓ(s)=(s-─)logs-s+────-∫────dt, 2 2 0 s+t where B_1 is the first Bernoulli function. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 210.69.35.10
推
04/12 16:22, , 1F
Dini thm
04/12 16:22, 1F
→
04/12 16:32, , 2F
Got it. Thx!
04/12 16:32, 2F
推
04/13 11:30, , 3F
(1+x/n)^n = [(1+x/n)^(n/x)]^x, 計x/n=α
04/13 11:30, 3F
→
04/13 11:31, , 4F
已知(1+1/α)^α 隨 α 遞增至 e
04/13 11:31, 4F
→
04/13 11:34, , 5F
給定 ε>0, 存在δ>0 使得 只要 0 < x/n < δ
04/13 11:34, 5F
→
04/13 11:35, , 6F
我們就有 (1+x/n)^(n/x) > 1 - ε
04/13 11:35, 6F
→
04/13 11:35, , 7F
打錯 ">e-ε"
04/13 11:35, 7F
→
04/13 11:37, , 8F
因此, (1+x/n)^n > e^x(1-xε/e) ≧e^x(1-aε/e)
04/13 11:37, 8F
→
04/13 11:37, , 9F
只要 n > a/δ
04/13 11:37, 9F
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