[複變] 觀念問題
1.
f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)
然後說如果f'(x+iy)要存在 則任何逼近方法所得的結果都要一樣
如果以實數而言
就像是
f(x)-f(xo) f(g(t))-f(g(to))
lim ───── = lim ─────────
x→xo x - xo g(t)→g(to)=xo g(t) - g(to)
意思就是用函數的方式去逼近也要是相同的結果
問題來了
如果我們把 f：C→C 看成是 f：R^2→R^2
那麼
┌ u(x,y) ┐
f(x,y)= │ │
└ v(x,y) ┘
而我查wiki和Boas都是講說 f'(x+iy)從實軸跟虛軸逼近方式要一樣
但是換成R^2來看 不就變成從X軸跟Y軸逼近方式要一樣
可是這麼說來 fx(x,y)要等於fy(x,y) 這根本很少發生吧
老師上課有稍微提一下說 f：C→C f：R^2→R^2 有不同
在C的關聯中 說什麼實部跟虛部會有一些關連 所以有一些不同
可是有具體的形容嗎？
總結而言 f：C→C 中 f'(x+iy)從實軸跟虛軸逼近方式要一樣
相當於在 f：R^2→R^2 會出現的什麼現象？
2. 老師上課證的定理
Let U is an open connected set in C
f：U → C , f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)
if (1) u(x,y) , v(x,y) € C1(U) , for all (x,y) € U
(2) Cauchy-Rimean Equations hold
then f is analytic at (x,y)
而我們老師的證明方法是湊出
f(x+iy)-f(xo+iyo)=ux(x,y)+ivx(x,y) + Error item
這裡並沒有規定x+iy是如何逼近到xo+iyo
所以可以說x+iy以任何方式逼近到xo+iyo都會等於ux(x,y)+ivx(x,y)
可是 我們只知道說
如果f'(xo+iyo)存在
則x+iy以任何方式逼近到xo+iyo都會等於ux(x,y)+ivx(x,y)
並沒有說 若x+iy以任何方式逼近到xo+iyo都會等於ux(x,y)+ivx(x,y)
則f'(xo+iyo)存在
所以這個證明是不是還差了：
x+iy以任何方式逼近到xo+iyo都會等於ux(x,y)+ivx(x,y)
if and only if
f'(xo+iyo)存在
3.
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