[分析] 一個均勻收斂的問題

看板Math作者 (∞)時間15年前 (2011/02/12 17:51), 編輯推噓2(2推 0噓 7→)
留言9則, 4人參與, 最新討論串1/1
{f_n(x)}={cos(nx)} on R 請問是否存在subsequence均勻收斂? 我用積分與極限交換來檢驗這個序列 發現不可行 所以{f_n(x)} 不是均勻收斂 但這樣似乎不足以說對於所有子序列都不均勻收斂(頂多存在非均勻收斂) 有請前輩指點一二 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 111.248.8.158
推
02/12 19:24, , 1F
這是週期函數列 所以限制在 [0,2π] 看就可以了
02/12 19:24, 1F
→
02/12 19:25, , 2F
bounded domain 下, 均勻收斂會保證 L^2 收斂
02/12 19:25, 2F
→
02/12 19:27, , 3F
然而這個函數列任兩相異函數的 L^2 距離都是 √(2π)
02/12 19:27, 3F
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02/12 19:28, , 4F
(正交函數列,傅立葉積分) 所以不可能有 L^2 收斂的
02/12 19:28, 4F
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02/12 19:28, , 5F
的子數列 因此不可能有均勻收斂的子數列
02/12 19:28, 5F
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02/12 19:38, , 6F
不是[0, 1]？
02/12 19:38, 6F
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02/12 19:39, , 7F
更正一下 是[-1, 1]
02/12 19:39, 7F
推
02/12 20:16, , 8F
原題目沒有 normalized
02/12 20:16, 8F
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02/12 20:16, , 9F
歐歐@@ 謝謝幾位熱心解說!
02/12 20:16, 9F
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