Re: [中學] 2004青少年數學國際城市邀請賽問題
※ 引述《acekj ()》之銘言：
: 1 1 1
: 5. 設m、n為正數，且滿足---=---+---
: m n m+n
: n m
: 那麼---+---之值為? 答案是√5
: m n
原式通分 => n^2 - m^2 = mn
原式同乘n => n/m = 1 + n/(m+n)
原式同乘m => m/n = 1 - m/(m+n)
(n/m + m/n)^2 = (n/m)^2 + 2 + (m/n)^2
= (1 + n/(m+n))^2 + (1 - m/(m+n))^2 + 2
平方展開來可以得到此式子是 5
=> (n/m + m/n)=√5
: 1. 已知ABCD為一等腰梯形，上底AB=18CM，下底CD=80CM
: 有一圓的圓心在CD上，且與AD、BC相切，則AD平方的最小值為何？答案是1240
把兩腰延伸 假設相交於E
圓心到AD BC 等距離 => 圓心在 E的角平分線上 => 圓心是CD中點
AD平方最小發生在 AB 和 CD 之間距離最小的時候
當AB CD距離靠近的時候 圓的切點 會靠近A點 甚至跑到AD邊之外
=> AD平方最小發生在 切點恰為A點時
令CD中點是M
A對CD垂足是H
=> MH=9 => HD=31
__
由母子三角形的性質 AH^2 = MH x HD = 31x9
=> AD^2 = AH^2 + HD^2 = 31x9 +31x31 = 31x40 = 1240
3 http://img547.imageshack.us/i/45272350.png/
已知正方形ABCD的邊長為8 ，設E、F分別在BC、CD邊上，且使得
∠EAF=45度，如果EF=7，求⊿EFC的面積以及BE之長
⊿EFC的面積=8
7±√17
BE之長=----------
2
過 A 作 AH 垂直 AF 且 H 落在 BC的延長線上
=> ⊿ AHB 全等 ⊿ AFD
=> ⊿ AHE 全等 ⊿ AFE
⊿ AHE 面積 8*7/2 =28 => ⊿ AEF面積 28
又 ⊿ AHE面積 = ⊿ABE + ⊿AFD
因此 ⊿EFC = 64 - 28*2 = 64- 56 = 8
令 BE=a => DF=BH=7-a => FC= 1+a & EC=8-a
⊿EFC 用畢氏定理 49= (8-a)^2 + (1+a)^2 => a = (7±√17 ) /2
※ 編輯: ntnusliver 來自: 218.168.40.104 (02/10 21:59)
推
02/10 23:18, , 1F
02/10 23:18, 1F
※ 編輯: ntnusliver 來自: 218.168.40.104 (02/11 00:03)
討論串 (同標題文章)
本文引述了以下文章的的內容：
完整討論串 (本文為第 2 之 2 篇)：