Re: [中學] AMC 12
※ 引述《kyoooooo123 (快樂的大學生)》之銘言：
: 令f(x)=(ax^2+bx)^1/2 ，問有多少個實數值a分別會有對應的正數b使得f的定義
: 域及值域為相同的集合？
: 我令f(x)=x算出a、b關係但是看不出來有幾個
: 答案是2
: 麻煩高手們~~
題目應該是假設f(x)為實函數
f(x) = (ax^2 + bx)^{1/2}
if a = 0, let b = 1, f(x) = x^{1/2} 值域=定義域
if a > 0, f(x) 定義域 = {x : ax^2 + bx >= 0} = {x : x <= -b/a or x >= 0}
因為-b/a為負數且f(x)的值域至少>=0, 所以a>0不存在解
if a < 0, f(x) 定義域 = {x : ax^2 + bx >= 0} = {x : 0 <= x <= -b/a}
因為連續性,只要看[min(f(x)), max(f(x))]是否等於[0, -b/a]
顯然min(f(x)) = 0
而max(f(x)) = (a(x+b/(2a))^2-b^2/(4a))^{1/2} = (-b^2/(4a))^{1/2}
若(-b^2/(4a))^{1/2} = -b/a,則 a = -4, 代入檢驗
所以 a = 0, a = -4, 共2個可能的實數a
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.248.106.119
→
01/30 13:02, , 1F
01/30 13:02, 1F
→
01/30 13:02, , 2F
01/30 13:02, 2F
推
01/30 17:10, , 3F
01/30 17:10, 3F
討論串 (同標題文章)