Re: [中學] 圓錐體積
※ 引述《jerryhu5602 (小志)》之銘言：
: 一題高中數學
: 有一個 半徑r 之 球面
: 其 外切直圓錐 之 最小體積 為何?
: 小弟只學過算幾 柯西兩條不等式
: 微積分還沒學過 所以希望可以用稍為簡單的方法說明
: 謝謝!!
我用很笨的方法，見笑了
設圓錐頂點到球心的距離為x，要算出圓錐的底圓的半徑
用三角形比例方法小△邊長:大△邊長為x:√(x^2-r^2):r=?:x+r:R
其中R為底圓半徑，用比例算出R=r√[(x+r)/(x-r)]
這樣可以列圓錐體積1/3底面積*高=1/3πr^2[(x+r)^2/(x-r)]
所以最後是計算T=[(x+r)^2/(x-r)]的最小值，先把r當成1看，因為x解出來是r的倍數
令[(x+1)^2/(x-1)]=k
整理後得到x^2+(2-k)x+(1+k)=0其中x有解，所以判別式>=0
得到k^2-8k=k(k-8)>=0所以k<=0或k>=8，負不合，所以k最小值為8
代入則T最小值為8r，所以圓錐體積最小值為8/3πr^3剛好是球的二倍
打得還蠻亂的，如果有錯請指教
希望能有更好的方法
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◆ From: 59.116.130.110
推
01/09 17:25, , 1F
01/09 17:25, 1F
※ 編輯: hugogoss 來自: 59.116.130.110 (01/09 19:40)
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