[微積] 收斂性與極限值

看板Math作者znmkhxrw (QQ)時間13年前 (2011/01/06 21:13)推噓1(1推 0噓 17→)

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大一上初微時老師給我們以下定義： Definition：a_n is convergent to S if for all ε>0, there exists Nε>0, s.t. when n >= Nε, we have │a_n - S│< ε Moreover, we write "a_n is convergent to S" into lim a_n = S n→∞ --------------------------------------------------------- 問題：如果一道題目要我們證a_n是否收斂，我們可以取lim值嗎？意思是像是請證明1/n 是收斂的我們可以說因為 lim 1/n = 0 , 極限值存在所以他收斂 n→∞ 這我感覺怪怪的感覺邏輯有誤 (一) 怎麼知道極限值是0？(如果前提是有極限值，那當然收斂(by defition)) (二) 要先證明收斂才能取lim 這句話有問題嗎？感覺這好像是if and only if 的定義阿= = 有lim值就能說他收斂了(定義) 可是你怎麼知道你的limit值是對的(回到(一)) 可是像是 a_n = (-1)^n 我們可以寫成 a_n=(-1)a_(n-1) 假設你同取lim 變成 S=-S → S=0 解出極限值等於0..可是a_n根本不收斂這就是一個 "要先證明收斂才能取lim" 的範例了可是這邊又有一個問題，我確實解出了limit值=0，你怎麼知道這是錯的你可能會說因為│a_n│= 1 for all n 可是以邏輯的觀點記然是iff 我們有"如果收斂則limit值存在" 且"如果limit值存在則收斂" 那為什麼它存在limit=0(解出來的) 卻不收斂 ---------------------------------------------- 希望有神人能看得懂我的問題= = 表達不是很清楚@@" 因為感覺 limit存在 iff 收斂 iff if for all ε>0, there exists Nε>0, s.t. when n >= Nε, we have │a_n - S│< ε 這三者是一樣強的為啥會有"要先證明收斂才能取lim"這句話(這句話感覺lim條件比收斂嚴苛) 謝謝~ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 111.243.146.113

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