Re: [微積] 請問一個最基本的問題 lnx

看板Math作者ntust661 (Crm~)時間14年前 (2009/11/09 22:39)推噓18(18推 0噓 36→)

留言54則, 13人參與討論串1/1

原文43 我覺得你不能用(反微分)積分這種東西來說，不然解釋半天你也不會相信原 PO 就先假裝不知道這個對數 ln 指數 e 往下看吧 :) f(x+h) - f(x) 導函數的定義是 f'(x) = lim ────── h→0 h 既然三角函數多項式函數我都可以帶這個定義來求導函數那對數呢?? x f(x) = log f'(x) = ??? a 當然囉帶入定義吧~ (x + h) x log - log a a f'(x) = lim ─────────── h→0 h 因為對數律相減變成相除 x + h (────) log x a f'(x) = lim ─────────── h→0 h 因為對數律外面相乘變成次方 1 ── h h (1 + ──) = lim log x h→0 a h 1 x 感覺有點怪怪的裡面有 ── ，外面只有 ── 。那我讓他乘 ── x h x 1 ── h h x (1 + ──) = lim ── log x h→0 x a ↑ 反正乘 1 結果不會變。所以乘個 x 就要除個 x 利用對數律，把分子的 x 移進去次方裡面 x ── h h 1 (1 + ──) = lim ── log x h→0 x a 這時候產生了一個非常神奇的東西 e 1/h 請問 lim (1 + h) = ??? h→0 有人說， 1 加上微量，然後在乘上無窮次方還是 1 有人說，不對! 1 加上微量的無窮次方，然後算出來會變成 2 有人又說，錯錯錯! 1 + 微小擾動的無窮次方，會造成無限大啾~~~~~~靜!誰才是對的呢? 這時候 Euler 就跑出來叫啦~ 他說，這個簡單，利用二項式展開 m m m n m m m 2 m 3 m n (1 + x) = Σ C x = C + C x + C x + C x + ... + C x + ... n=0 n 0 1 2 3 n C 就是算組合數 m m! C = ───── ( ! 表示階乘 ) n (m-n!)(n!) 所以依照二項式定理 1/h (1/h)! (1/h)! (1/h)! 2 (1 + h) = ──── + ───── (h) + ───── h + ... 0!(1/h)! 1!(1/h-1)! 2!(1/h-2)! 1 1 1 = ── + ── + ── + ... 0! 1! 2! 1 1 1 1 1 1 = ── + ── + ── + ── + ── + ── +... 0! 1! 2! 3! 4! 5! = 2.718281828... 然而這個數字我們就簡略以 e 來代替 ---回到這個式子 x ── h h 1 (1 + ──) = lim ── log x h→0 x a 我可以知道上面那串可以寫成 e 這個常數 e log a 1 x = ─── = ──── (其中 log 寫成自然對數 ln ) x x lna e 這下好啦 ! 我知道對數微分了那我好像知道一件事情了! n 1 n + 1 平常的多項式積分 ∫ x dx = ── x + C n + 1 但是遇到 n = -1 就不能運算了! 1 還好今天我看到對數的微分等於 ──── (其中 ln a 又是常數) x lna 那我要如何把 ln a 改成 1 呢 ??? 很簡單! 只要把"真數"與"底數"寫成一樣的時候就會等於 1 了。那我 ln a 的底數，就是 2.718281828.... = e 1 那我也把真數 a 令為 e 就會得到 ── 了 x x 1 那我既然 D log = ──── a x lna a = e 的時候?? x 1 D log = ──── ?? e x 1 d( ln x) = ─── dx x 原PO的問題就迎刃而解啦!!! -- -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.118.234.83

推