Re: [微積] 請問一題▽^2(1/r)
※ 引述《prospect (庸人自擾)》之銘言：
: 如題▽^2(1/r)= -4π*脈衝函數(r向量)
: 其中r=空間中一點至參考點的距離。
: 抱歉…很多數學符號不會用bbs打出來…直接用文字說明。
: 主要是想知道中間的詳細過程，能否有高手能告知，謝謝。
2 ^ 2 ^ 2 ^
▽ (1/r) = ▽‧▽(1/r) = ▽‧(-r/r ) = -▽‧(r/r )，其中r是單位向量。
理論上，這個式子應該要符合Divergence Theorem：
^ 2 ^ 2 →
∫ ▽‧(r/r ) dτ = ∮ (r/r ) da
V S
先看右邊：假設我們設定S是以參考點為球心，半徑為R之球，則右邊
^ 2 2 ^
= (r / R )‧4πR r = 4π
^ 2
再看左邊：如果▽‧(r/r )很正常，那可以套用球座標系的divergence：
^ 2 1 d 2 1
▽‧(r/r ) = ── ── (r ‧── ) = 0 (找不到偏微分的符號...)
r^2 dr r^2
左邊就是0。
這樣看來，Divergence Theorem是不可能錯的，卻導到這樣一個荒謬的結論。
右邊式子不可能錯，左邊，由於r = 0時，左邊那串東西會發生問題。
因此答案應該是4π。
由於我們沒有假設R是多大，所以說不管R多大都還是4π。
這也就是說，貢獻並不是來自於r = 0以外的地方。
若把R縮的很小，只要有包住r = 0，都還是4π。
因此我們可以斷定，r = 0一定是造成4π的來源。
在r = 0時，散度趨近於無限大，但是積分起來又是個定值(4π)。
我們就先定義一個叫做Dirac delta function的東西(雖然它不是真正的函數)
3 0, r ≠ 0 3
δ (r) = , ∫ δ (r) dτ = 1
∞, r = 0 整個空間
^ 2 ^ 2
回到剛剛的情形，∫ ▽‧(r/r ) dτ= 4π = ∫ ▽‧(r/r ) dτ
V 整個空間
(反正外面的散度是0，所以對整個空間作積分不會影響值)
^ 2 3
根據上面的定義，就可以知道：▽‧(r/r ) = 4πδ (r)
2 3
所以說：▽ (1/r) = -4πδ (r) 就是這麼來的。
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