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看到有人問為何氫原子由波爾模型和海森堡不確定原理
各自算出的基態能相同
一般談波爾的量子化條件 會用駐波的概念解釋
不過一開始波爾沒有物質波的概念
在正式的量子力學被發現以前
波爾的量子化條件被推廣成
Bohr-Sommerfeld量子化條件∮pdq=nh
這個式子在矩陣力學發展時
把式中的量置換成矩陣元素 可猜出對易關係[x,p]=ih
由對易關係可推出不確定原理
所以為何兩種方法得出的基態能相同
原因之一是其實都用了類似的量子化條件
不確定性原理的意義是
當電子非常靠近原子核 也就是形成非常局域的波包
需要用不同波長(動量)的波(疊加)進行相消干涉才能構築
而p平均=0, p不確定度就和動能大小相關
所以位置與動量的不確定性互相競爭,而有最小不確定性的基態
J=∮pdq=nh反應的是
粒子軌跡在(p,q)相空間中呈封閉曲線所圍的面積
在古典力學中 J隨著參數緩慢變化下(τ’很小)的變化很小[ΔJ~O(τ’)]
被稱為某種不變量,並成為量子化的對象
統計力學計算的微觀態數量正比於相空間中佔據的面積
需要除以h(=ΔpΔx)才能正確計算數量,也可視為不確定性的展現
一般而言 相空間中所圍面積越大的曲線對應的運動 其能量也越大
基於面積量子化,會有最小面積對應的運動的基態能
或者借用熱力學 能量E和熵S常為monotone 的對應關係E(S)
如果S≧0又是離散計算的, E自然有最小值
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06/23 19:24,
1年前
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