Re: [秩綱] 請教你一題數學
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想法 : 先知道 90!最後面有幾個零
[90/5]+[90/25]=21 => 5^21|90! ∴有21個0
我們考慮90!= k*2^21*5^21 (k,25)=1
如此一來 k 的末兩位數字即為所求
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我用≒表示把5的次方拿掉再mod 25的餘數
[90/5]+[90/25]=21 => 5^21|90!
因 (5k+1)(5k+2)(5k+3)(5k+4)≡-1 (mod 25)
又90=5*18, 18=5*3+3
故90!≒(-1)^18*18!≒18!≒(-1)^3*16*17*18*3!≒-1
90!中共有18組型如:(5k+1)(5k+2)(5k+3)(5k+4)的相乘數字
剩下的5 10 15 20...85 90 將5去除後得到18!
∴ k*2^21=-1 (mod 25) 至此已經把5^21都去除掉了
再來把2^21去除掉
=> 90!*2^(-21)≒-1*2^(-21)
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≒-1*13^21 ∣ ∵ 2*13=26=1 (mod 25)
∣ => 2^(-1)=13 (mod 25)
∣ => 2^(-21)=13^21 (mod 25)
—————————————————————
≒-1*13≒12 ∣ 由歐拉定理φ(25)=25(1-1/5)=20
∣ ∴ 13^20= 1(mod 25)
∣ => 13^21=13(mod 25)
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由上知 k=12 (mod 25) ∣ 因此我們可以知道 k 的末兩位數
∣ 可能為12,37,62,87
又 2^23|90! 亦即 4|k —————————————————————
∴ k=12 (mod 100)
故 90! 從右到左首二位不為零的數字為12
維基上的 同餘 http://tinyurl.com/y79h24f
歐拉函數 http://tinyurl.com/y5hy6m3
歐拉定理 http://tinyurl.com/y6t7uth
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