[理工] 108 台大電信 線代

看板Grad-ProbAsk作者 (11)時間4年前 (2020/01/22 19:08), 4年前編輯推噓3(3推 0噓 35→)
留言38則, 5人參與, 4年前最新討論串1/1
https://imgur.com/bOqskej
之前與版友討論是F 反例如下： A = [0 1 v = [1 1 0] 0] 但想問這題該如何以觀念解題 畢竟反例不一定能想到 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 180.176.55.182 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Grad-ProbAsk/M.1579691291.A.656.html
推
01/22 19:38, 4年前 , 1F
翻譯成中文是說若存在vTAv=0 則這個v屬於ker(A) 看起來是
01/22 19:38, 1F
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01/22 19:38, 4年前 , 2F
不對的 但不知道有沒有相關的觀念
01/22 19:38, 2F
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01/22 19:41, 4年前 , 3F
A symmetric，可正交對角化，用特徵向量假設v的形式
01/22 19:41, 3F
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01/22 19:42, 4年前 , 4F
可知vTAv=α^2(λ_1)|v_1|^2+β^2(λ_2)|v_2|^2
01/22 19:42, 4F
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01/22 19:43, 4年前 , 5F
寫成這樣找反例就很簡單了
01/22 19:43, 5F
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01/22 19:58, 4年前 , 6F
不過要注意的是可正交對角化並不保證是對稱，所以要先
01/22 19:58, 6F
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01/22 19:59, 4年前 , 7F
找到特徵值並非全正或全負的對稱矩陣（非正定或負定）
01/22 19:59, 7F
還是不太會欸 請問R大列出那條式子後該怎麼找？就算取單位特徵向量也還有4個未知數
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01/22 20:26, 4年前 , 8F
就自由設啊，特徵值是跟你選的對稱矩陣有關
01/22 20:26, 8F
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01/22 20:27, 4年前 , 9F
像這個例子，特徵值是1,-1，那要怎麼變0？
01/22 20:27, 9F
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01/22 20:28, 4年前 , 10F
也就是說，從這個式子你可以看到只要不是正定或負定，
01/22 20:28, 10F
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01/22 20:29, 4年前 , 11F
那麼不管哪個可逆對稱矩陣都能辦得到這件事
01/22 20:29, 11F
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01/22 20:31, 4年前 , 12F
更一般地說，只要特徵值有正有負就行了，還不用可逆
01/22 20:31, 12F
感謝R大 有成功舉出幾個反例了！
推
01/22 20:53, 4年前 , 13F
= = v^tAv=(v,Av)，只要v跟Av垂直就可以是0了不用Av=0
01/22 20:53, 13F
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01/22 20:53, 4年前 , 14F
，不用謝
01/22 20:53, 14F
好像蠻有道理的 不過這樣好像跟symmetric就無關了？
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01/22 21:21, 4年前 , 15F
01/22 21:21, 15F
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01/22 21:22, 4年前 , 16F
大概的意思就是 只要特徵值有正有負 就可以舉出對應的特徵向
01/22 21:22, 16F
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01/22 21:22, 4年前 , 17F
量的線性組合 使得題目的敘述不為真
01/22 21:22, 17F
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01/22 21:25, 4年前 , 18F
不要被帶走了，你本來就是在問要怎麼找到能否定敘述的v
01/22 21:25, 18F
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01/22 21:26, 4年前 , 19F
要否定敘述，不只是要找到v,A使得v跟Av垂直，還要確定
01/22 21:26, 19F
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01/22 21:27, 4年前 , 20F
Av不為0 假設今天A是I，那你連vTAv=0的v都找不到，而
01/22 21:27, 20F
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01/22 21:28, 4年前 , 21F
如果A={{1,0},{0,0}}，那不管你再怎麼找出v，它都會有
01/22 21:28, 21F
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01/22 21:28, 4年前 , 22F
Av=0
01/22 21:28, 22F
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01/22 21:31, 4年前 , 23F
如果要以垂直來看 找出v讓v跟Av垂直 由於Av屬於行空間 所以v
01/22 21:31, 23F
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01/22 21:31, 4年前 , 24F
要在A的左零空間 但以你的例題來看 要去哪裡找在左零空間但
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01/22 21:31, 4年前 , 25F
不為零的元素？
01/22 21:31, 25F
兩位大大觀念好清楚... 感謝 ※ 編輯: ccapricorntw (180.176.55.182 臺灣), 01/22/2020 23:45:14
推
01/23 22:33, 4年前 , 26F
借問個 是不是只要A是symmetric，則ker(A)就會等於Lker(
01/23 22:33, 26F
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01/23 22:33, 4年前 , 27F
A)，所以用垂直會找不到？
01/23 22:33, 27F
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01/23 23:03, 4年前 , 28F
並不是因為用垂直找不到，而是你本來就知道那是垂直
01/23 23:03, 28F
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01/23 23:04, 4年前 , 29F
單純知道這件事不會讓你真的能找到v
01/23 23:04, 29F
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01/23 23:07, 4年前 , 30F
反過來說，題目這樣出，反而讓你多個線索去找反例
01/23 23:07, 30F
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01/23 23:17, 4年前 , 31F
D大說v要在A的左零這句不對，左零是對所有行空間向量都
01/23 23:17, 31F
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01/23 23:18, 4年前 , 32F
垂直的向量，但是跟特定的行空間向量垂直的不需要在左
01/23 23:18, 32F
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01/23 23:19, 4年前 , 33F
零
01/23 23:19, 33F
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01/23 23:44, 4年前 , 34F
我本來是想說 如果要以v跟Av垂直這件事下去想的話的方向
01/23 23:44, 34F
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01/23 23:57, 4年前 , 35F
與特定行空間垂直感覺也比較好解釋? 假設v=[1 0]^T (隨意)
01/23 23:57, 35F
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01/23 23:57, 4年前 , 36F
A的第一個行向量設成與[1 0]垂直 v就會與A的"特定行空間Av"
01/23 23:57, 36F
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01/23 23:57, 4年前 , 37F
垂直 剩下的任意補使得A為symmetric 就能得出反例
01/23 23:57, 37F
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01/24 00:06, 4年前 , 38F
這樣也很不錯，固定v反過來構造A的方式
01/24 00:06, 38F
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