[理工] 線代，對稱矩陣

看板Grad-ProbAsk作者 (SayaCintaMu)時間6年前 (2019/12/11 18:34), 6年前編輯推噓4(4推 0噓 35→)
留言39則, 4人參與, 6年前最新討論串1/1
想請問第八題（1）： https://i.imgur.com/BKcr083.jpg
關於實對稱矩陣有很多性質 且我目前熟悉的是 有以下： 1. 可正交對角化（orthogonal Q) 2. 其特徵值必為實數 3. 根據1.和 Jordan form的內容可知 不同特徵值產生的特徵向量空間 必然都互相垂直 如題，如何能確定...特徵值必正？ 然後這種狀況 又容易混淆 （半）正定性 ----- Sent from JPTT on my iPhone -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 27.246.39.165 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Grad-ProbAsk/M.1576060489.A.C9C.html ※ 編輯: a84172543 (27.246.39.165 臺灣), 12/11/2019 18:37:34 ※ 編輯: a84172543 (27.246.39.165 臺灣), 12/11/2019 18:37:55
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12/11 18:45, 6年前 , 1F
你看錯題目意思了，題目就是在講如果正定，這兩個條件
12/11 18:45, 1F
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12/11 18:45, 6年前 , 2F
就等價
12/11 18:45, 2F
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12/11 18:47, 6年前 , 3F
如果有(1)就有(2)，有(2)就有(1)
12/11 18:47, 3F
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12/11 18:51, 6年前 , 4F
哦哦，所以兩個去互推（若且為若）就行了嗎？
12/11 18:51, 4F
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12/11 18:52, 6年前 , 5F
嗯，我第一行「正定」這兩個字算是多的
12/11 18:52, 5F
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12/11 18:53, 6年前 , 6F
應該說成是你想知道實對稱是否正定，這兩個條件判斷其
12/11 18:53, 6F
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12/11 18:53, 6年前 , 7F
中一個就好
12/11 18:53, 7F
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12/11 19:58, 6年前 , 8F
另外想請問 如何確定
12/11 19:58, 8F
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12/11 19:5, , 9F
實矩陣的特徵多項式=0 會有全為實根
12/11 19:5, 9F
8
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12/11 19:58, 6年前 , 10F
因為在對稱矩陣上總是說
12/11 19:58, 10F
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12/11 19:58, 6年前 , 11F
「如果有特徵值 則必為實數」
12/11 19:58, 11F
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12/11 19:58, 6年前 , 12F
但能保證 特徵值的存在性
12/11 19:58, 12F
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12/11 19:58, 6年前 , 13F
似乎也不能用實數回推有特徵值
12/11 19:58, 13F
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12/11 19:58, 6年前 , 14F
（否則就循環論證）
12/11 19:58, 14F
※ 編輯: a84172543 (27.246.39.165 臺灣), 12/11/2019 19:58:53
推
12/11 20:19, 6年前 , 15F
你的問題其實就是實矩陣的特徵值是否一定是實數
12/11 20:19, 15F
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12/11 20:19, 6年前 , 16F
這個答案是錯 需要加上Hermitian的條件才會對
12/11 20:19, 16F
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12/11 20:19, 6年前 , 17F
另外存在性的問題要看你去哪裡找這個特徵值
12/11 20:19, 17F
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12/11 20:19, 6年前 , 18F
一個實矩陣的特徵多項式一定是實係數多項式
12/11 20:19, 18F
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12/11 20:19, 6年前 , 19F
n次實係數多項式一定有n個複數解 且虛根會成對
12/11 20:19, 19F
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12/11 20:19, 6年前 , 20F
Hermitian矩陣特徵值一定是實數的證明完全可以從複數空
12/11 20:19, 20F
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12/11 20:19, 6年前 , 21F
間推論 所以沒有問題
12/11 20:19, 21F
※ 編輯: a84172543 (27.246.39.165 臺灣), 12/11/2019 20:39:42 ※ 編輯: a84172543 (27.246.39.165 臺灣), 12/11/2019 20:43:22
推
12/11 20:41, 6年前 , 22F
就實數來說 Hermitian的確和對稱同義
12/11 20:41, 22F
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12/11 20:42, 6年前 , 23F
n次實係數方程式一定有n個虛數解，且虛數成對存在，因
12/11 20:42, 23F
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12/11 20:42, 6年前 , 24F
為這樣相乘之後係數才會是實數，這邊的解就是特徵值
12/11 20:42, 24F
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12/11 20:43, 6年前 , 25F
這是方程式的基本原理，不用想到線代這麼複雜的部分
12/11 20:43, 25F
我在舉個例子，例如我是一個5階實方陣 我的特徵多項式為五次實係數多項式方程式 根據代數基本定理 會有以下情況 5實根、3實2虛、1實4虛 根據Hermitian，有特徵值必然實數 但如何說明就得是5個實根這個狀況？ ※ 編輯: a84172543 (27.246.39.165 臺灣), 12/11/2019 20:51:09
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12/11 20:51, 6年前 , 26F
Hermitian不只是有實根，是全部都實根
12/11 20:51, 26F
※ 編輯: a84172543 (27.246.39.165 臺灣), 12/11/2019 20:53:06 我從我自己舉例過程中 好像有點體悟了 n階實方陣，產生出n次特徵方程 根據代數基本定理必然有n個複數根 z1,z2,... ... ,zn 因為Hermitian說明，z1,z2,... ...,zn必為實數 所以總結...實對稱矩陣必有n個實數特徵值 ※ 編輯: a84172543 (27.246.39.165 臺灣), 12/11/2019 20:56:33
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12/11 20:55, 6年前 , 27F
這有講到Hermitian矩陣都會證明啊
12/11 20:55, 27F
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12/11 20:56, 6年前 , 28F
Ax=λx，xHAx=λxHx，而xHAx因為與其共軛相等，所以是
12/11 20:56, 28F
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12/11 20:57, 6年前 , 29F
實數，也因此λ是實數
12/11 20:57, 29F
※ 編輯: a84172543 (27.246.39.165 臺灣), 12/11/2019 20:58:05
推
12/11 20:57, 6年前 , 30F
我懂你的意思了，但是我不太清楚怎麼從那個角度去證明
12/11 20:57, 30F
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12/11 20:57, 6年前 , 31F
，只能寫出以下通式證明，希望能有幫助
12/11 20:57, 31F
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12/11 20:57, 6年前 , 32F
要注意，實對稱這個條件，而不是實矩陣就好
12/11 20:57, 32F
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12/11 20:57, 6年前 , 33F
12/11 20:57, 33F
這個內容我知道，所以我確定有的話當然是實數沒問題，但我前面是卡在沒有怎麼辦，但 根據代數基本定理不可能沒有，所以一有根，必然實數，我應該體會了，應該是被資料用 詞所誤導，因為都說「如果有的話...」，我一直卡在沒有的話怎麼辦，但又不可能沒有 。 整體來說，我應該懂了～謝謝樓上各位大大 ※ 編輯: a84172543 (27.246.39.165 臺灣), 12/11/2019 21:03:02
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12/11 21:00, 6年前 , 34F
實對稱本身就是Hermitian，你既然接受Hermitian的根都
12/11 21:00, 34F
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12/11 21:01, 6年前 , 35F
是實數，那實對稱的根當然也都是實數，這跟那特徵方程
12/11 21:01, 35F
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12/11 21:01, 6年前 , 36F
的關係已經不大了
12/11 21:01, 36F
※ 編輯: a84172543 (27.246.39.165 臺灣), 12/11/2019 21:03:58
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12/11 21:05, 6年前 , 37F
12/11 21:05, 37F
想詢問一下 我整理的筆記內容 關於...對稱、正定、正規等內容 還有沒有其他重要的內容可以連結或統整 我全部放在對角化、Jordan form之後自學 另外有個二次型式的東西...不確定是什麼 好想跟正定有關 ※ 編輯: a84172543 (27.246.39.165 臺灣), 12/11/2019 21:11:10
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12/11 21:14, 6年前 , 38F
二次型就是xTAx啊，「正定」指的的就是二次型的正定
12/11 21:14, 38F
推
12/11 22:08, 6年前 , 39F
二次型式就是你筆記第四點那個呀
12/11 22:08, 39F
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