[理工] 線代 內積2題疑問

看板Grad-ProbAsk作者 (Mistel)時間6年前 (2019/08/28 00:32), 6年前編輯推噓0(0推 0噓 37→)
留言37則, 1人參與, 6年前最新討論串1/1
https://i.imgur.com/ZpFP36V.jpg
是非題第45題 請問不是只有在A是投影算子的時候才可以拆嗎？ 有點混淆... https://i.imgur.com/uFfgcmt.jpg
第97題(c)小題 請問QR分解的R是唯一的嗎？ 我的過程是這樣 https://i.imgur.com/guLhlkC.jpg
我的想法是u3=0v1+v2+v3 所以R矩陣的第一列第三行應該要填0才對？ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.136.219.48 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Grad-ProbAsk/M.1566923554.A.139.html
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08/28 00:37, 6年前 , 1F
在R^m中，R(A)跟N(A^T)本來互相就是正交補餘的關係
08/28 00:37, 1F
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08/28 00:39, 6年前 , 2F
這件事跟是否為投影算子無關
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那這樣如果題目敘述改成for all y屬於Rn y可以寫成R(A^T)的向量跟N(A)的向量線性組合 也是對的嗎？
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08/28 00:53, 6年前 , 3F
第二個問題當然是書寫錯了
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※ 編輯: mistel (114.136.219.48 臺灣), 08/28/2019 12:04:23
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08/28 12:24, 6年前 , 4F
對啊，就是用A^T代A而已，意思一樣
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08/28 12:39, 6年前 , 5F
要證明也不難，書上應該會有才對
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08/28 12:40, 6年前 , 6F
先證明它們正交，令屬於ker(A^T)的向量叫y，屬於R(A)的
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08/28 12:43, 6年前 , 7F
向量叫Ax，則(y^T)Ax=(Ax)^Ty=x^TA^Ty=x^T(A^Ty)=0
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08/28 12:45, 6年前 , 8F
再來證明它們只交於{0}，假設有向量z同時屬於兩空間，
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08/28 12:45, 6年前 , 9F
那麼它跟它自己內積會是0，所以一定是0向量
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08/28 12:46, 6年前 , 10F
最後用維度定理就知道它們互相是正交補餘了
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T是冪等算子情況下一個向量可以拆成ker(T)+Im(T)裡的所有向量這我理解，因為這時候ker (T)跟Im(T)這兩個空間會形成直和 但是這個地方書上其實沒有講的很清楚，只提到兩個正交補空間交集是空集合， 所以跟您確認一下，我一直以為維度定理僅限用在ker(T)跟Im(T)， 但是像這篇文章的R(A)跟N(A^T)，其實我只要知道R(A)跟N(A^T)交集是{0}(滿足直和其中一 個條件) 而且兩個空間維度相加剛好等於dim(Rm)，所以我就可以說R(A)跟N(A^T)也行成了一個直和 了，是這樣嗎@@ ※ 編輯: mistel (114.136.219.48 臺灣), 08/28/2019 18:35:06
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08/28 19:45, 6年前 , 11F
實際上，dimIm(T)=rank(T)=dimR(A)=dimR(A^T)
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08/28 19:48, 6年前 , 12F
所以兩個式子是一樣的
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08/28 19:49, 6年前 , 13F
而一般我們說四大空間的關係時用的就是我寫的那樣
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08/28 19:50, 6年前 , 14F
四大空間對所有矩陣都是對的，冪等才是特例
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08/28 20:01, 6年前 , 15F
我說的兩個式子指的是維度定理
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08/28 20:03, 6年前 , 16F
我發現我沒有寫，就是dimR(A)+dimN(A^T) = m
08/28 20:03, 16F
對耶R(A^T)維度跟R(A)是相同的！這樣我瞭解了 再請教R大關於least square solution跟minimal solution的問題 先假設是解Ax=b這個線性系統 1.minimal solution一定存在嗎？ 是的話那Ax=b有唯一解x就是minimal solution嗎？所以其實這個x是在R(A^T)裡面？！ 不是的話代表唯一解x不是距離原點長度最近的那個解，感覺怪怪的？ 2.least square solution求解x0時可以把b投影到R(A)上再求解，那minimal solution可以 把b投影到R(A^T)上再求解嗎？ 3.https://www.ptt.cc/bbs/Grad-ProbAsk/M.1420862181.A.A81.html 請問這篇文章中提到的shortest (minimal 2-norm) least-squares solution就是指minima l solution沒錯嗎？ 下面留言提到的這句話「好像最小解一定是R(A^T). 因為不管求解還是近似解，x 屬於R(A^ T)+N(A)，而如果有多組解代表N(A)不為空,最小解則是這之中最短者，所有在R(A^T)正交N( A)的條件下，加上N(A)只會增加長度，所有最小解一定屬於R(A^T)」 其實就是在過去說過的通解可以拆成特解+一個齊次解嗎？，所以這個唯一一個特解就是min imal solution對嗎？ 感謝R大一直幫忙解惑 ※ 編輯: mistel (114.136.219.48 臺灣), 08/29/2019 00:46:58
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08/29 01:05, 6年前 , 17F
1.有解的話，對，也是在R(A^T)裡面
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瞭解
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08/29 01:06, 6年前 , 18F
3.是，但第二個問句不太對，因為特解本身是可以隨便找
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08/29 01:07, 6年前 , 19F
你可以想像那個解集合是個沒通過原點的平面，這個平面
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08/29 01:08, 6年前 , 20F
可以由隨便一個指向平面上一點的向量加上平面上的向量
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08/29 01:09, 6年前 , 21F
表達，而我們說的比較特殊的特解則是距離原點最近的那
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08/29 01:09, 6年前 , 22F
條垂直於平面的線
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原來如此 這邊可能要多體會一下才能懂了orz
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08/29 01:15, 6年前 , 23F
至於2.應該是要找pseudo inverse
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08/29 01:16, 6年前 , 24F
不過不知道應該也不會影響對minimal solution的理解
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瞭解，感謝您 ※ 編輯: mistel (114.136.219.48 臺灣), 08/29/2019 13:50:41
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08/29 13:56, 6年前 , 25F
3這點應該沒很複雜，「指向平面上隨便一點的向量」就是
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08/29 13:57, 6年前 , 26F
一個特解，「在平面上的向量」就是齊次解
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08/29 14:05, 6年前 , 27F
另外，1這件事，既然你說的是只有唯一解，那代表N(A)的
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08/29 14:07, 6年前 , 28F
維度就是0，同時也代表R(A^T)是整個R^n
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您說的我懂，但既然解集合可以拆開變成特解和齊次解，而且特解垂直於這個齊次解平面， 那這特解向量應該是屬於R(A^T)，而且特解跟齊次解的內積應該是0？！ 但是為什麼筆記上這一題把通解拆成特解+齊次解，做內積卻不是0 TAT https://i.imgur.com/ISlJD5S.jpg
https://i.imgur.com/waA34gN.jpg
還是這跟是不是在inner product space有關...？ ※ 編輯: mistel (114.136.219.48 臺灣), 08/29/2019 15:43:44
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08/29 15:49, 6年前 , 29F
不是啊，所以我的意思就是若只講特解，並不代表那就是
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08/29 15:50, 6年前 , 30F
R(A^T)的解呀，指向解平面上任何一點的向量都可以是特
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解
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08/29 15:54, 6年前 , 32F
這麼說吧，假設yp是屬於R(A^T)的特解，yn則是齊次解
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08/29 15:55, 6年前 , 33F
那麼(yp+yn)這個向量也可以當作特解
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08/29 15:56, 6年前 , 34F
而它當然不會跟yn正交
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08/29 16:07, 6年前 , 35F
反過來說，如果你能找到跟所有齊次解都正交的特解，那
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08/29 16:08, 6年前 , 36F
就會是屬於R(A^T)的解了 minimal solution主要就是在
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08/29 16:08, 6年前 , 37F
找這個特殊的特解
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哦哦哦我懂了，原來我一直誤會直和的意思，所以誤以為R^n裡的向量不是屬於N(A)就該屬 於R(A^T)，正確的說應該是可以被這兩個空間線性組合才對， 早上還想說奇怪為什麼您為什麼要強調指「任意」指向ker(T)的向量 當唯一解時ker(T)維度為0，R(A^T)會行成R^n，所以minimal solution本來就應該在R(A^T) 裡，而且這一個特殊的解正是離原點最近的點，而且跟ker(A)的所有向量垂直 有種前後串起來的感覺 數學好神奇啊！！ ※ 編輯: mistel (114.136.219.48 臺灣), 08/29/2019 16:32:46
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