[理工] 群環體 同態與同構筆記內的同餘關係

看板Grad-ProbAsk作者 (Mistel)時間6年前 (2019/08/15 17:54), 6年前編輯推噓4(4推 0噓 38→)
留言42則, 4人參與, 6年前最新討論串1/1
https://i.imgur.com/JVfWOHg.jpg
想確認一下，這裡的同餘關係跟Zn這個群有什麼關係嗎？ 如果一個群裡的元素可以分成一堆一堆的就是同餘關係，每一堆就稱為等價類，這樣的說法 正確嗎？ 另外確認一下，同餘關係並不專門指數論裡的mod，對嗎？ 覺得在同態同構這邊突然介紹同餘關係有點突兀，想知道這兩者有沒有什麼前因後果？（課 本裡的這個小節沒有同餘關係orz 感謝板上大神 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 223.136.150.143 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Grad-ProbAsk/M.1565862842.A.EBA.html
推
08/15 18:25, 6年前 , 1F
這裡的同餘關係就是數論裡提到的同餘關係 沒有不一樣
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先講Zn Zn是把所有整數的等價類變成了他的元素 所以可以
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把Zn的元素視為集合
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這樣做的話，Zn上的每個運算都要去同餘，才會符合封閉
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性
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但是其實同餘關係可以定義在廣義的群裡面
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只要任何一個等價關係符合：
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a 同餘 b, c同餘 d 則 ac同餘 bd
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那他就會是同餘關係
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可以實際帶幾個數字來看
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例如：
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8同餘2 (mod 6) , 9 同餘3 (mod 6)
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則8*9 同餘 6*3 (mod 6)
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第二行少打了一點 Zn是把所有整數上 同餘的等價類(mod n
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)
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推
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講沒有不一樣好像有點太武斷@@ 應該是說 數論講的同餘
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關係是這裡講的同餘關係用在正整數上的一種
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但任何一個代數系統的等價關係只要符合上面講的那個 就
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能叫做同餘關係
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推
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...又發現有打錯的地方 8*9 同餘2*3才對
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08/15 22:02, 6年前 , 21F
等價類不是專門對同餘關係的詞，你該說同餘類
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或者該說你把關係跟同餘這兩個詞弄混了？
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只要是關係，就能把群分成一堆一堆的，這一堆就叫
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等價類（或者簡稱就是類），而同餘關係是一種關係
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所以它也能把群分成一堆一堆，這一堆就可以叫同餘類
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如果要問為何這時會講同餘，那可以說所有跟整數群同構
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的東西也都會自然存在同餘關係
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08/15 22:26, 6年前 , 28F
不然就是想要講Z跟Zn的同態關係吧
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感謝二位， 同餘是一種關係，可以把群分成一堆一堆 等價類是被某種關係分成一堆一堆的，Zn是整數的所有元素的等價類作為元素形成的集合 嗯...有種塞了很多東西沒有頭緒的感覺... 整理一下， 同態：群跟群的元素之間有函數對映，只要well-defined即可 同構：這個函數要1-1而且onto 群同構：單位元素對映而且反元素對映 根據R大的回覆產生的問題：一個群G1上有同餘關係，如果另一個群G2跟G1同構，那G2有同 餘關係嗎？ 再請教一下，所謂的體（field），就是滿足交換環具有乘法單位元素且且for all a不等於 0，a之inverse存在稱為體。 這邊的0是指加法單位元素，沒錯嗎？ 所以體應具有加法單位元素，加分反元素，乘法單位元素，乘法反元素 這樣對嗎orz 摸不著邊，但身邊的戰友好像都打算直接放掉這一塊導致沒人可以討論 ※ 編輯: mistel (223.136.150.143 臺灣), 08/16/2019 00:33:22
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08/16 01:14, 6年前 , 29F
你產生的問題答案是對沒錯，就把原本對應的元素用
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08/16 01:15, 6年前 , 30F
isomorphism映過去就好
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推
08/16 01:15, 6年前 , 31F
體的那段是對的
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Zn在代數上比較嚴格的定義就是Z/nZ，這寫法就同時跟同
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態還有同餘有關了
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只是要講清楚這概念的話還要先講normal subgroup
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08/16 01:28, 6年前 , 35F
Z/nZ這個符號大致上的意思就是以nZ為一種分類方式，對
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Z去分類之後所得到的新的群，而當然這個分類方式實際上
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跟同餘的那個定義是一樣的
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再講下去我覺得太偏代數了 我覺得你可以先看個大概就好
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感謝R大的回覆，感謝四位，這是我是從生下來最接近數學的
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08/16 07:51, 6年前 , 40F
一天TAT
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我有些講錯了，這邊不該用群，而是環，所以不是normal
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subgroup而是ideal
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