[理工] 線代可逆條件證明

看板Grad-ProbAsk作者r5e97nk63 (DoUNo)時間6年前 (2019/08/04 11:15)推噓2(2推 0噓 44→)

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有兩個問題 1. 想問(3) → (1) 的意義因為 Ax=b 有解 (包含唯一解和無限多組解) => A可逆這條件其實蠻強的耶 ans:其實我們還有一個 for all b∈F^(n*1) 協助限縮假設今天 Ax=b 有無限多組解 => A可逆也符合上述命題邏輯呀，可是不對呀，這從RANK就可以證錯誤了 (無限多組解可將一列化為0列，有0列無法形成單位矩陣) ans:這樣解釋這個命題是錯的，無限多組解的狀況不會符合這個命題的充分條件，因為無限多組解可以找到一個b'使得Ax=b'變成無解，此時不符合 for any b∈F^(n*1), Ax=b有解，自然不能推論A可逆其實可以從同等命題下去看 A不可逆 => Ax=b 無解 (X) 因為Ax = b 具無限多組解也是不可逆 ans:這命題其實跟書上不同，書上的同等命題應該是 A不可逆 => ∃b∈F^(n*1), Ax=b 無解 ----------------------------------------------------------- 2. 這裡(3) → (1) 的證明手法其實跟 1. 我想問的問題也是差不多一開始寫for all b ∈ vector on nx1 field 可是卻又把b限縮到e(i)得證 (這種情形是特解呀，雖然特解包含在有解，但通解呢?) 這樣不能證明當 Ax=b , b有解 → A 可逆呀只能證明當 Ax=b , b有特解 → A 可逆 ans:這裡的盲點在於如果無法滿足「for all b∈F^(n*1)」就無法滿足該命題，因此一定有辦法在「for all b∈F^(n*1), Ax=b有解」這個條件下找出b，使得A「必」可以被證明可逆。沒有什麼限縮的問題，因為這裡的推理是一步一步往後推，不能突然推到一半往回挑戰(除非等價命題才可以往回推)。這裡一直忽略要加上for all b∈F^(n*1)這條件，才能推得可逆。 ------------------------------------------------------------- 3. 命題邏輯如果你是人類 → 你會懷孕 pf: 你是人類，假設你是女生，你會懷孕，得證。(不合理) 應該要把所有都假設你是人類，假設你是男生，你不會懷孕，矛盾(充分條件與必要條件矛盾) 不然就是利用同等命題如果你不會懷孕 → 你不是人類 (X) 男生不會懷孕 → 男生不是人類 (不合理) --------------------------------------------------------- 總結： 1. A可逆 <=> Ax=b 具唯一解 2. A可逆 => Ax=b 有解 (O) A可逆 <= Ax=b 有解 (X) 所以 A可逆 <=> Ax=b 有解 (X) 主要想釐清 2.的部分 ans:這裡主要的問題一樣是忽略掉for all b∈F^(n*1)這條件，這條件會將無限多組解的情形排除掉，因此是等價命題，沒有問題。先謝謝各位的回答感謝Ricestone 大大的解惑QQ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.227.81.6 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Grad-ProbAsk/M.1564888514.A.AF8.html

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