[理工] 線代 反矩陣求法

看板Grad-ProbAsk作者 (R7)時間7年前 (2019/01/23 17:04), 7年前編輯推噓0(0推 0噓 18→)
留言18則, 3人參與, 7年前最新討論串1/1
https://i.imgur.com/HHVUJxG.jpg
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題目給矩陣 M=a‧I+b‧x‧x^t 找反矩陣 詳解的做法 令兩個相成=I 但為何能假設M^-1= c‧I+d‧x‧x^t 雖然乘出來剛好是單位矩陣 或是還有別的想法能解這題嗎 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 110.26.163.42 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Grad-ProbAsk/M.1548234276.A.513.html
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01/23 17:31, 7年前 , 1F
這算是特徵多項式的方法
01/23 17:31, 1F
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01/23 17:31, 7年前 , 2F
我有另一種方法，不過概念跟特徵多項式一樣
01/23 17:31, 2F
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01/23 17:33, 7年前 , 3F
令xx^t=S，則S^2=nS，首先算M^2 = (a^2)I+(2ab+nb^2)S
01/23 17:33, 3F
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01/23 17:34, 7年前 , 4F
樓主可以連其他小題的解答一起貼上來嗎
01/23 17:34, 4F
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01/23 17:36, 7年前 , 5F
所以M^2=(2a+nb)M-(a^2+nab)I
01/23 17:36, 5F
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01/23 17:38, 7年前 , 6F
於是M=aI+bS=(2a+nb)I-(a^2+nab)M^(-1)
01/23 17:38, 6F
感謝! 不過是前面指的特徵多項式 是用到特徵多項式的哪個概念? 還有這個算式得到的結論 我可以當做 只要矩陣是由a‧I+b‧S 組成的 且 S^2=k‧S <=> 反矩陣也是由 c‧I+b‧S 組成 嗎？ ※ 編輯: magic83v (110.26.163.42), 01/23/2019 18:13:03 ※ 編輯: magic83v (110.26.163.42), 01/23/2019 18:13:34
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01/23 18:20, 7年前 , 7F
主要是因為最小多項式只有二次
01/23 18:20, 7F
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01/23 18:23, 7年前 , 8F
所以p(A)=0 -> αA^2+βA+γI=0 -> αA+βI+γA^-1=0
01/23 18:23, 8F
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01/23 18:24, 7年前 , 9F
所以這情況下A^(-1)都可以被表示為A跟I的某個線性組合
01/23 18:24, 9F
感謝大大懂了！ min poly最多兩次方才能這樣 所以上面打的整串應該都是錯的 ※ 編輯: magic83v (110.26.163.42), 01/23/2019 18:34:02
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01/23 18:37, 7年前 , 10F
沒啊，沒有錯。今天如果有M=aI+bS，則(b^-1)(M-aI)=S
01/23 18:37, 10F
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01/23 18:38, 7年前 , 11F
所以M-aI也滿足二次的多項式->M滿足某個二次多項式
01/23 18:38, 11F
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01/23 18:40, 7年前 , 12F
A+αI這樣的矩陣之間在特徵多項式上關係蠻密切的
01/23 18:40, 12F
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01/23 18:41, 7年前 , 13F
啊不過我不確定往左的箭頭有沒有對
01/23 18:41, 13F
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01/23 18:45, 7年前 , 14F
哦哦了解 剛是想到可能3個eigenvalue 的情況會不會有例
01/23 18:45, 14F
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01/23 18:45, 7年前 , 15F
外出現之類的
01/23 18:45, 15F
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01/23 18:46, 7年前 , 16F
用多項式的角度考慮這個應該比較安全(?
01/23 18:46, 16F
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01/23 18:49, 7年前 , 17F
這題組看起來應該是希望連接到多項式吧，大概
01/23 18:49, 17F
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01/23 18:50, 7年前 , 18F
像是第一小題那兩個特徵值，就是這最小多項式的根
01/23 18:50, 18F
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