[理工] 線代 103台聯大電機 對稱矩陣rank

看板Grad-ProbAsk作者 (R7)時間7年前 (2018/11/06 15:07), 7年前編輯推噓1(1推 0噓 22→)
留言23則, 3人參與, 7年前最新討論串1/1
分類在算子理論的題目 但是完全沒看懂要用到哪裡的觀念來解這題 感謝各位 https://i.imgur.com/GMKYtBo.jpg
-- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 39.8.106.60 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Grad-ProbAsk/M.1541488030.A.4C7.html
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11/06 15:13, 7年前 , 1F
real symmetric matrix的eigenvalue都會是real
11/06 15:13, 1F
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11/06 15:16, 7年前 , 2F
並且AB也會是symmetric，且AB=0 =>detAB = 0
11/06 15:16, 2F
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11/06 15:17, 7年前 , 3F
而detAB = detA * detB
11/06 15:17, 3F
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11/06 15:25, 7年前 , 4F
我有點誤會，我先想想
11/06 15:25, 4F
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11/06 15:31, 7年前 , 5F
(1)假設BA有個eigenvector u，with eigenvalue s
11/06 15:31, 5F
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11/06 15:32, 7年前 , 6F
then BAu = s u -> ABAu = s Au -> 0 = Au
11/06 15:32, 6F
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11/06 15:33, 7年前 , 7F
->BAu = 0 -> eigenvalue must be 0
11/06 15:33, 7F
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11/06 15:33, 7年前 , 8F
同樣道理能解決(4)
11/06 15:33, 8F
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11/06 15:34, 7年前 , 9F
A^2 = P(Λ^2)P^-1 = O
11/06 15:34, 9F
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11/06 15:35, 7年前 , 10F
-> Λ = O -> A = O
11/06 15:35, 10F
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11/06 15:46, 7年前 , 11F
(2)若AB=0 則CS(B)可以由 RankB 個向量作為基底
11/06 15:46, 11F
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11/06 15:47, 7年前 , 12F
但這RankB個基底必須被A送到0 ->都是A的Nullspace基底
11/06 15:47, 12F
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11/06 15:48, 7年前 , 13F
的一部分 -> RankA + NullityA = n , NullityA>=RankB
11/06 15:48, 13F
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11/06 15:48, 7年前 , 14F
所以 RankA + RankB <= n
11/06 15:48, 14F
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11/06 15:54, 7年前 , 15F
(3)的話，也可以用必可對角化性質，說明A跟A^2rank一樣
11/06 15:54, 15F
了解了 感謝 1我想法是他們eigenvalue 一樣 又是0矩陣 所以eigenvalue 都是0 這樣更簡單吧 大大你解1.2題的想法我還真怕我考試卡住 ※ 編輯: magic83v (39.8.106.60), 11/06/2018 16:08:57
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11/06 16:15, 7年前 , 16F
也可以啦，其實那證明跟證eigenvalue一樣是一樣的
11/06 16:15, 16F
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11/06 16:17, 7年前 , 17F
(2)應該就是rank-nullity theorem最簡單了吧
11/06 16:17, 17F
明白了 2就是ker(A)會包含cs(B)的意思 考在rank上 題目變化一下我就要轉好久～ ※ 編輯: magic83v (39.8.106.60), 11/06/2018 16:19:58
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11/06 16:28, 7年前 , 18F
嗯，因為我想到什麼就打什麼，沒整理好
11/06 16:28, 18F
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11/06 17:56, 7年前 , 19F
我發現(1)可以直接由AB = O -> (AB)^T = O -> BA = O
11/06 17:56, 19F
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11/06 17:56, 7年前 , 20F
老實說這題有些選項跟對稱矩陣沒關係...
11/06 17:56, 20F
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11/06 17:57, 7年前 , 21F
對啊 我不知道標題要怎麼分類隨便打關鍵字..囧
11/06 17:57, 21F
推
11/06 22:32, 7年前 , 22F
11/06 22:32, 22F
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11/06 22:33, 7年前 , 23F
補上3.4 5只保證B是正交
11/06 22:33, 23F
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