Re: [理工] 線代 88台大電機是非兩題
※ 引述《jack191919 (jack191919)》之銘言：
: 有兩題看不懂，想麻煩大家幫忙
: https://drive.google.com/file/d/0B0UqLwwkqNcoemRUTVVzVkFqTWc/view
: 7.17 第二行推導看得懂，但是不懂第一行為什麼可以 ∀x∈ker(T) 這樣令
你所謂看得懂的部分只是定義 不是邏輯
因為核空間維度可能不為零
如果是這樣會有不為0的x使得T(x) = 0
但是題目說這個T滿足||x|| = ||T(x)||
所以假使核空間維度不為0，即存有某x =/= 0
則x的||x|| = ||T(x)|| = ||0|| = 0
這顯然矛盾
所以核空間={0}
否則這一定不是one-to-one
而是存在多對一的情況
設有相異u, v
我們檢查是否可能出現T(u) = T(v) = w，w為某向量
=> w - w = 0 = T(u) - T(v) = T(u - v)
=> ||u - v|| = ||T(u - v)|| = ||0||
=> u = v 又矛盾
表示一個向量u透過T會變成另外一個向量w
再也沒有其他向量v能透過T也變成同一個w
=> T 是 1-1
: 7.18 不懂為何T 1-1 就是onto
: 謝謝大家
書上這種解答在應試時能得幾分？我很好奇
這不就是它應該要證明的嗎？
我簡述流程
dim V = dim(Ker(T)) + dim(range(T))
= 0 + dim(range(T))
又range(T)本身是向量空間W的subspace (自己動手檢驗)
=> range(T) = W
表示W內的一個向量w都可且只能用由向量空間V的一個向量透過T映射出
這就是蓋射
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