[線代]內積與onto問題

看板Grad-ProbAsk作者 (jkaikai)時間9年前 (2017/01/02 20:12), 9年前編輯推噓7(7推 0噓 34→)
留言41則, 8人參與, 最新討論串1/1
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請問各位第7-18題要怎麼解呢?? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.134.18.53 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Grad-ProbAsk/M.1483359169.A.6F1.html
推
01/02 20:51, , 1F
17題因為要讓T(x)=0, 只有x=0（只有零解），所以這是1-1
01/02 20:51, 1F
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01/02 20:52, , 2F
18題我也想了一下，他答案也那樣不知道為啥，我是覺得x
01/02 20:52, 2F
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01/02 20:52, , 3F
一定可以找到與之對應的T(x),這等意於T(x)是onto,所以
01/02 20:52, 3F
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01/02 20:52, , 4F
我會寫True
01/02 20:52, 4F
推
01/02 20:58, , 5F
線性 1-1 一定ONTO
01/02 20:58, 5F
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01/02 21:03, , 6F
對應域由值域跟零空間組成 零空間維度為零 所以對應域
01/02 21:03, 6F
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01/02 21:04, , 7F
的維度都是由值域所貢獻 在線性下 1-1 保證映成
01/02 21:04, 7F
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01/02 21:05, , 8F
所以只要證有沒有1-1 有錯還請指證@@
01/02 21:05, 8F
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01/02 21:14, , 9F
這題因為有寫是線性算子，兩邊維度相同所以1-1⇔onto解釋同
01/02 21:14, 9F
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01/02 21:14, , 10F
樓上，若兩邊維度不同則不成立
01/02 21:14, 10F
推
01/02 21:20, , 11F
所以是線性且維度相同，1-1 <-->onto ?
01/02 21:20, 11F
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01/02 21:24, , 12F
V->V 1 to 1都對完了當然onto
01/02 21:24, 12F
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01/02 21:26, , 13F
那如果是V->V'，但是dim(V)=dim(V')，是否也可以保證
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01/02 21:26, , 14F
1-1 <=> onto?
01/02 21:26, 14F
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01/02 21:27, , 15F
雖然不是linear operator，但是dimension相同這樣
01/02 21:27, 15F
推
01/02 21:31, , 16F
不能維度相同是一對一且映成的結果 反之不一定成立
01/02 21:31, 16F
推
01/03 00:12, , 17F
@yupog 可以啊 線性算子這個特性就是這樣推出來的?
01/03 00:12, 17F
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01/03 00:15, , 18F
謝謝樓上的各位大大 這題我已經弄懂了 ,但是又有一個
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01/03 00:15, , 19F
小小的疑惑.
01/03 00:15, 19F
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01/03 00:15, , 20F
子嘉的書上面有寫"同維即同構",代表"若同維則1-1且ont
01/03 00:15, 20F
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01/03 00:15, , 21F
o",所以如果把7-18題的題目改成"Let T be a linear op
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01/03 00:1, , 22F
erator on V. Then T is onto",這樣也是True,因為linea
01/03 00:1, 22F
5
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01/03 00:15, , 23F
r operator就是同維. 請問各位大大我的想法有錯誤嗎??
01/03 00:15, 23F
※ 編輯: jason50715 (101.9.128.202), 01/03/2017 00:16:41
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01/03 00:18, , 24F
不好意思小弟剛開始用ptt，所以排版有點亂
01/03 00:18, 24F
※ 編輯: jason50715 (101.9.128.202), 01/03/2017 00:19:41
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01/03 00:53, , 25F
錯 T必須先1-1才可成立
01/03 00:53, 25F
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01/03 07:18, , 26F
linear operator不保證同維，理由是jj大說的那樣
01/03 07:18, 26F
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01/03 07:19, , 27F
定理是這樣說的:若linear且同維，則1-1 <=> onto
01/03 07:19, 27F
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01/03 07:20, , 28F
linear跟同維都是條件，linear operator雖然值域跟對應
01/03 07:20, 28F
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01/03 07:21, , 29F
域相同，但是沒加上1-1的話就有可能對應域有些元素沒有
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01/03 07:22, , 30F
被對完，因此不保證onto，
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01/03 07:26, , 31F
ㄟ我覺得我剛剛講的第一句話應該要刪掉，不然會混淆
01/03 07:26, 31F
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01/03 07:55, , 32F
"同維即同構"是在描述兩個空間。在有限維之下，如果兩個空
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01/03 07:55, , 33F
間維度相同，則會"存在"一線性同構函數linear，1-1，onto
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01/03 07:55, , 34F
，T：V→W 所以兩個空間是同構。定理所說的是"存在"並不是
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01/03 07:55, , 35F
∀
01/03 07:55, 35F
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01/03 08:41, , 36F
懂了!!謝謝大家嚕!
01/03 08:41, 36F
推
01/03 11:12, , 37F
dim(V) = dim(V') 若T 1-1 <=> n(T) = 0 <=> r(T) = dim(
01/03 11:12, 37F
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01/03 11:12, , 38F
V) <=> r(T) = dim(V') 因Im(T)包含於V' <=> Im(T) = V'
01/03 11:12, 38F
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01/03 11:12, , 39F
所以onto
01/03 11:12, 39F
推
01/03 11:18, , 40F
同構 存在一線性函數 是1-1且onto 三個條件 在同構
01/03 11:18, 40F
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01/03 11:19, , 41F
下是等價 視同構 只要給你一個 其他兩個必成立
01/03 11:19, 41F
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