[理工] [線代] 投影矩陣

看板Grad-ProbAsk作者 (bear)時間9年前 (2016/12/28 14:54), 9年前編輯推噓19(19推 0噓 62→)
留言81則, 9人參與, 最新討論串1/1
http://i.imgur.com/v5j5BWN.jpg
我想問一下B選項錯在哪 解答上寫說P的eigenvector未必線性獨立 但根據我的理解 P為對稱 => 可對角化 <=> n個線性獨立eigenvector -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 223.136.211.74 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Grad-ProbAsk/M.1482908094.A.34F.html ※ 編輯: beargg0305 (223.136.211.74), 12/28/2016 14:55:49
推
12/28 15:04, , 1F
具有n哥線性獨立的eigen vector不代表他們的eigen
12/28 15:04, 1F
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12/28 15:05, , 2F
vector都是線性獨立的，注意，eigen vector有無限多個
12/28 15:05, 2F
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12/28 15:14, , 3F
d選項的話eigenvalue都會是{-1,1,1,1,1,1}
12/28 15:14, 3F
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12/28 15:14, , 4F
因為他是householder矩陣
12/28 15:14, 4F
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12/28 15:42, , 5F
(b)的話要挑語病就像是yupog說的，同一個eigenvalue可以
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12/28 15:43, , 6F
對到無限個dependent eigenvector, 所以不一定線性獨立
12/28 15:43, 6F
推
12/28 15:54, , 7F
P是projection PP=P 又是orthogonal P^-1=P^T
12/28 15:54, 7F
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12/28 15:55, , 8F
PPP^-1 = PP^-1 這樣不會變成 P=I 嗎 這樣rank(P)就=6
12/28 15:55, 8F
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12/28 15:56, , 9F
可是projection matrix 不是一定有非0的v 讓Pv = 0 嗎
12/28 15:56, 9F
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12/28 15:57, , 10F
還是我搞錯了
12/28 15:57, 10F
推
12/28 15:57, , 11F
PP=P 不一定P=I 呀
12/28 15:57, 11F
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12/28 15:58, , 12F
其實就像你說得，可以找到“n個“線性獨立的eigenvector
12/28 15:58, 12F
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12/28 15:59, , 13F
不過題目是問P的eigenvector, 所以不會“全部"都是獨立
12/28 15:59, 13F
推
12/28 16:00, , 14F
我看課本 A是正交<=>A^-1 = A^T 有這特性ㄟ
12/28 16:00, 14F
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12/28 16:01, , 15F
那不就是表示正交不就一定有反矩陣嗎
12/28 16:01, 15F
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12/28 16:02, , 16F
PP 跟 P 各乘 一個P^-1 不會變成P=I嗎
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12/28 16:16, , 17F
a選項我也有問題，我的想法跟P大一樣
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推
12/28 16:20, , 18F
答案有a吧,正交矩陣 => 行orthonormal => 每個vector線
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12/28 16:20, , 19F
性獨立=> rank=n
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12/28 16:20, , 20F
可是P如果等於I的話感覺又不能為projection matrix了
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推
12/28 16:22, , 21F
I是投影矩陣,如果投影到整個V上,投影矩陣就是I
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12/28 16:24, , 22F
喔對吼，投影到整個V上也算，一直鬼打牆XD
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12/28 16:26, , 23F
所以只要orthogonal matrix，rank就可以等於n了
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12/28 16:26, , 24F
不需要加projection這個條件，感謝k大
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推
12/28 16:28, , 25F
因為正交矩陣定義是行orthonormal,如果是行orthogonal
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12/28 16:28, , 26F
就有可能不獨立
12/28 16:28, 26F
推
12/28 16:30, , 27F
!!! 我也沒想到I是projection這點 這樣能確定P就是I嗎
12/28 16:30, 27F
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12/28 16:33, , 28F
我覺得可以，證明感覺沒什麼問題，而且orthogonal跟
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12/28 16:33, , 29F
projection條件這麼強烈，感覺上就沒有不合理
12/28 16:33, 29F
推
12/28 16:48, , 30F
我發現第七章有正交投影矩陣 好像不代表是正交矩陣
12/28 16:48, 30F
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12/28 16:48, , 31F
應該是兩種不同的東西哈哈
12/28 16:48, 31F
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12/28 16:49, , 32F
確認個觀念，行orthogonal有可能不獨立是因為0向量嗎？
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12/28 16:49, , 33F
題目應該是指第七章的正交投影矩陣
12/28 16:49, 33F
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12/28 16:49, , 34F
正交矩陣⇔∣λ∣=1⇔det=±1⇔可逆
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12/28 16:54, , 35F
T*T=I 佈於複數叫么正佈於實數叫正交與第七章垂直那個正交
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12/28 16:54, , 36F
無關
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12/28 16:54, , 37F
P大的意思是題目應該是在問orthogonal projection，
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12/28 16:54, , 38F
而不是在問又orthogonal又projection嗎？
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推
12/28 16:56, , 39F
恩恩
12/28 16:56, 39F
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12/28 16:59, , 40F
慘了我亂了，等我能碰到線代課本再來想XD
12/28 16:59, 40F
推
12/28 16:59, , 41F
orthogonal不是指他是orthogonal matrix吧@@ 而是指他是o
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12/28 16:59, , 42F
rthogonal projection
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12/28 17:00, , 43F
啊 原來樓上已經回惹
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推
12/28 17:02, , 44F
嗯,是因為可以存在0向量,去掉0就一定會獨立
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12/28 17:03, , 45F
原來我會錯義了
12/28 17:03, 45F
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12/28 17:04, , 46F
那orthogonal projection matrix跟projection matrix
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12/28 17:04, , 47F
有啥區別
12/28 17:04, 47F
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12/28 17:05, , 48F
看到了，題目所說的應該是指第七章那個正交投影矩陣
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12/28 17:05, , 49F
我反而想問c為什麼是對的@@ idempotent一定是symmetric?
12/28 17:05, 49F
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12/28 17:07, , 50F
wiki上有定義projection跟orthogonal projection~網址太
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12/28 17:07, , 51F
長就不貼上來惹
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12/28 17:07, , 52F
哪裡寫c對？
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12/28 17:07, , 53F
瞭解 感謝
12/28 17:07, 53F
推
12/28 17:12, , 54F
說反了 c是錯的 所以意思是指idempotent必定symmetric?
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12/28 17:18, , 55F
看過之後覺得c是對的XDD
12/28 17:18, 55F
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12/28 17:20, , 56F
p是投影矩陣 有 p=p^2=p^t的性質 所以是對稱 對稱矩陣
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12/28 17:20, , 57F
可以正交對角化
12/28 17:20, 57F
推
12/28 17:22, , 58F
正交投影矩陣一定對稱..我又把正交矩陣弄在一起了
12/28 17:22, 58F
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12/28 17:23, , 59F
12/28 17:23, 59F
推
12/28 17:38, , 60F
l大請問p=p^t是怎麼推出來的呢？ k大那個定理我有看到但
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12/28 17:38, , 61F
我想說不是應該是單向的嗎? 還是說所有正交投影矩陣都可
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12/28 17:38, , 62F
以表示成A(A^hA)^-1 A^H且A行獨立？
12/28 17:38, 62F
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12/28 17:38, , 63F
啊啊 還是那一串就是正交投影矩陣的定義= =？
12/28 17:38, 63F
推
12/28 17:49, , 64F
To aa大：你把要投影到的空間的basis擺成A的行向量
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12/28 17:49, , 65F
，那投影矩陣就會長那樣，因為一定行獨立，所以A^TA
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12/28 17:49, , 66F
可逆
12/28 17:49, 66F
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12/28 17:50, , 67F
上面那張圖裡面就有P^T=P 的證明了，就是直接把P=那串取T
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12/28 17:50, , 68F
要表示成那樣前提是A要行獨立，不過一定有辦法取行
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12/28 17:50, , 69F
獨立的A，所以投影矩陣都可以表示成那樣，因果關係
12/28 17:50, 69F
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12/28 17:50, , 70F
應該是這樣
12/28 17:50, 70F
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12/28 17:53, , 71F
喔喔喔喔我懂惹 一定找得到那個行獨立的A g大說法簡單明
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12/28 17:53, , 72F
瞭 謝謝
12/28 17:53, 72F
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12/28 17:54, , 73F
雖然感覺有點不太嚴謹XD 因為那個好像要在歐式空間+標準
12/28 17:54, 73F
→
12/28 17:54, , 74F
內積才會有那一串
12/28 17:54, 74F
推
12/28 18:38, , 75F
在線代啟示錄的“冪等矩陣”有去證明正交矩陣=>對稱矩
12/28 18:38, 75F
→
12/28 18:38, , 76F
陣這個方向,可以參照一下
12/28 18:38, 76F
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12/28 18:41, , 77F
打精確一點..正交投影矩陣=>對稱矩陣
12/28 18:41, 77F
推
12/28 20:01, , 78F
(b) 不同特徵值對應到的特徵向量必定orthogonal 但同一
12/28 20:01, 78F
→
12/28 20:01, , 79F
個特徵值的特徵向量不一定
12/28 20:01, 79F
推
12/28 20:12, , 80F
不挑1f語病的話 (b)but not orthogonal是錯的 可以是ort
12/28 20:12, 80F
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12/28 20:12, , 81F
hogonal也可以不是
12/28 20:12, 81F
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