[理工] [工數] frobenius 指標根重根 與相差為整數

看板Grad-ProbAsk作者 (cc)時間10年前 (2015/10/15 16:15), 10年前編輯推噓19(19推 0噓 12→)
留言31則, 2人參與, 最新討論串1/1
看到書中寫道 重根的時候: y = c1 y_1 + c2partial y_1/partial r 但不知道這是怎麼出來的，翻版上之前文章，有板友說是定理 不知道有沒有資料可以看? 或是這只是將y_1答案微分後與y_2形式一致才會有此公式? 另外在相差為整數時，做(r-r1)修正後，答案形式會跟重根一樣， 這背後是怎麼運作出來的。 p.s 之前發的heaviside逆運算子希望有人可以幫我解惑阿 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.238.187.202 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Grad-ProbAsk/M.1444896936.A.1F8.html ※ 編輯: w0a3y5n8e1 (36.238.187.202), 10/15/2015 19:48:33
推
10/15 20:07, , 1F
假設你的y1<y2，重根時要對r偏微分是為了
10/15 20:07, 1F
→
10/15 20:08, , 2F
求出第二個線性獨立的解，就跟ODE 重根時一樣
10/15 20:08, 2F
推
10/15 20:10, , 3F
y(x)=c1*exp[x]+c2*x*exp[x]
10/15 20:10, 3F
這個理論是有推導可以得到的嗎? 之前在這裡的時候是用 e積分-p(x) y2= y1積分--------- 得到 y1^2 從類比來講感覺上是有這種感覺，但是想知道有沒有方法能proof 或是在這裡對m偏微分的原理，之前理解x由來是從上面式子。
推
10/15 20:12, , 4F
而多乘的x來自於對m偏微分，令y(x)=exp[mx]
10/15 20:12, 4F
推
10/15 20:16, , 5F
抱歉第一推中的假設應該是r1<r2
10/15 20:16, 5F
推
10/15 20:22, , 6F
第二個問題的部分，因為當你把r1代入時，y會發散
10/15 20:22, 6F
推
10/15 20:25, , 7F
所以乘一個k(r-r1)去約掉使分母發散的(r-r1)
10/15 20:25, 7F
→
10/15 20:27, , 8F
約掉(r-r1)後的y給他一個新名字叫y*
10/15 20:27, 8F
推
10/15 20:29, , 9F
有趣的是代r1 y*(x)的值，會跟代r2 y(x)的值一樣
10/15 20:29, 9F
這裡是一定修正完會跟 代r2一樣的解嗎 只有幾個例子觀察 所以我不是很確定一定是這樣 當r1-r2=1時 用a0*=k(r-r2)=a0修正 剛好原本r1、r2的x次方差一次 被a0*給消掉 此時會得到跟r2一樣的解 但如果 e.g. r1-r2=2 這時 y1=x^2(a0+a1x+a2x+.....) y2=x^0(a0*+a1*x+a2*x+.....) 可以發現a0*=0 因為a0*=r-r2 那a1*會等於0嗎?
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10/15 20:31, , 10F
言下之意，你又重根了。所以第二個解才會拿y* 偏微分
10/15 20:31, 10F
推
10/15 20:32, , 11F
因此才會有解答形式一樣的狀況。
10/15 20:32, 11F
推
10/15 22:11, , 12F
推！
10/15 22:11, 12F
推
10/15 22:35, , 13F
Heaviside 問題到底在哪？？
10/15 22:35, 13F
/我ID吧 有些天數了(#1M30OOTT) thx
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10/15 22:36, , 14F
1/L(D) exp(ax) = exp(ax) 1/L(D+a)
10/15 22:36, 14F
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10/15 22:37, , 15F
這樣不會有分母為零的情況阿
10/15 22:37, 15F
你有回答我那篇，但你跟我說的是特解不唯一，這點我有在那篇回了 分母為0: [1/L(D)]' e^x=L'(D)e^2/[L(D)]^2 先做L'(D)e^x 而會剛好為0 如果可以，你再去幫我那篇回應，感謝。 ※ 編輯: w0a3y5n8e1 (36.238.187.202), 10/15/2015 23:02:55 ※ 編輯: w0a3y5n8e1 (36.238.187.202), 10/15/2015 23:41:31 ※ 編輯: w0a3y5n8e1 (36.238.187.202), 10/16/2015 03:36:00
推
10/16 13:43, , 16F
10/16 13:43, 16F
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10/16 13:44, , 17F
10/16 13:44, 17F
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10/16 13:44, , 18F
回答你不知道為什麼要偏微分的問題。
10/16 13:44, 18F
感謝! 懂
推
10/16 13:53, , 19F
第二個問題，以你的記號。r1是大根，r2是小根
10/16 13:53, 19F
對! 筆誤了
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10/16 13:55, , 20F
至於你的a1* ， a2* ...等等是等於多少？要實際代入喔
10/16 13:55, 20F
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10/16 13:55, , 21F
。
10/16 13:55, 21F
無窮級數的相等，是每一項都要一樣，這是對的想法嗎? 若a1*不等於0 x一次方係數對不上?
推
10/16 13:57, , 22F
但可以確定y*(x)代入小根=y(x)代入大根。
10/16 13:57, 22F
推
10/16 13:59, , 23F
幫你收斂一下 。問題1 看96台大土木
10/16 13:59, 23F
這裡是有漏了什麼嗎? 收斂→? 另外我看96台大土木 第一題是 fourier series? 我找錯了嗎 ※ 編輯: w0a3y5n8e1 (36.238.187.202), 10/16/2015 14:46:05 ※ 編輯: w0a3y5n8e1 (36.238.187.202), 10/16/2015 14:53:33
推
10/16 15:01, , 24F
哈哈 收斂 是指討論那麼多，回歸到考題的意思（≧▽≦
10/16 15:01, 24F
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10/16 15:02, , 25F
10/16 15:02, 25F
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10/16 15:02, , 26F
請參考第四題。
10/16 15:02, 26F
哦哦 原來XD 那前面你說a1*等於多少，要實際帶，若不等於0 y1=b0x^2+b1x^3+..... y2=a1*x+a2*x^2+..... ~~~~ 還是 不是這樣一項一項對的? ※ 編輯: w0a3y5n8e1 (36.238.187.202), 10/16/2015 15:08:35
推
10/16 15:11, , 27F
沒錯你的a1*也會是0，你的y1(x)起始就是x^2
10/16 15:11, 27F
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10/16 15:12, , 28F
y*(x)起始相也是x^2，在這之前的係數a0*a1*=0
10/16 15:12, 28F
所以 若今天r1-r2=7 y1=b0x^7+b1x^8+..... y2=a0*+a1*x^1+...+a6*x^6+a7*x^7+a8*x^8+..... 因對原本an+1=a0(某個跟r n 有關的分式) a0做修正 a0* a1* a2*......a6* "一定"會因為遞迴關係式=0 這個結論 對or錯? 苦無題目做驗證 Q_Q 題目都是相差為1(r1-r2=1) 不知道為什麼一定會0 只能猜測跟遞迴關係式有關 實際上是什麼情形? ※ 編輯: w0a3y5n8e1 (36.238.187.202), 10/16/2015 15:21:27
推
10/16 15:20, , 29F
是一項一項對，但是b0不一定等於a2*，可能是倍數
10/16 15:20, 29F
推
10/16 15:53, , 30F
對！
10/16 15:53, 30F
真的很謝謝你回答我這麼多 ^_^ ※ 編輯: w0a3y5n8e1 (36.238.187.202), 10/16/2015 16:21:34
推
10/17 09:42, , 31F
一起加油^_^
10/17 09:42, 31F
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