[理工] [工數]-逆微分運算子
最近正在解微分方程，到了Heaviside 逆運算子時，突然遇到魔障，
怎麼想都不對，懇請學長姐予以解惑。
疑問如下:
在逆運算子裡，有著這個性質:
1 1 1
------- x*Q(x) = x------- Q(X) + (------)' Q(x)
L(D) L(D) L(D)
但看到大多使用此式時機，幾乎都是x*(sin or cos)形式，不知怎我就犯X，
想要在x*e^x時用，這下問題來了，我怎麼解都很難得到正確特解的答案，
有些是只有在用某些方法下才會得到，有些則是沒辦法，
所以我就好奇在當初推倒這個公式的時候，是不是有所限制?
後來我在youtube找到一個老師用歸納法証出來，但也看不出來哪裡會出錯。
以下是我嘗試的兩種題目:
(一)
1 1 1
------- x*e^x = x-------e^x + (-------)'e^x
D^2-D D^2-D D^2-D
1 x^m
我觀察到第一點，等號後第一項，若是使用-------------e^(ax)=--------e^(ax)----(1)
[(D-a)^m]L(D) m!L(a)
答案會是(x^2)e^x。
1 1
但若是用---------e^(ax)=e^(ax)---------，---------(2)
L(D) L(D+a)
1
再化簡成e^(ax)--------x，得(x^2)e^x-xe^x。
1+D
1
如此便有了差項，我的猜想是因為e^x在原本的式子y=-------e^x，是齊次解，
D^2-D
所以在公式(1)裡，被捨棄了，問題:該不該保留這個齊次項?或是什麼時候?
第二點跟第一點類似，等號右邊第二項，用(1)(2)方法做出來的答案，
1
會相差自己式子y=(---------)'e^x的齊次解，我算出來是2xe^x+3e^x。
D^2-D
問題:該不該保留這個齊次項?或是什麼時候? 微分項分子的D為什麼需要先和後面做運算?
結果:第一點留齊次項，第二點不留，則得到正確特解。WHY?
(二)
1 1 1
---------- x*e^x = x----------e^x + (----------)'e^x
D^3-3D+2 D^3-3D+2 D^3-3D+2
問題一:等式右邊第一項，該不該保留齊次項?或是什麼時候?
問題二:等式右邊第二項，分子的D先和e^x做運算後就等於0了，就....卡住不知如何是好
結果:湊不到正確的特解。
最後疑問公式裡的Q(x)到底有沒有限制?能不能是原本L(D)y=0的解，
而這個解有重根時? 為何sin cos 都不會遇到這種狀況。
問題很多，先謝謝大家了。 <(__)>
第一題答案:[(1/2)x^2+(-1)x]e^x
第二題答案:(1/18)[(x^3)-(x^2)]e^x
以上皆為特解
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※ 編輯: w0a3y5n8e1 (36.236.222.107), 09/30/2015 23:58:48
→
10/01 00:04, , 1F
10/01 00:04, 1F
抱歉 當初想說答案不是重點 已編輯附上 也謝謝指教
※ 編輯: w0a3y5n8e1 (36.236.222.107), 10/01/2015 00:10:46
推
10/05 22:25, , 2F
10/05 22:25, 2F
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10/05 22:26, , 3F
10/05 22:26, 3F
你說的有理，但你有發現嗎? 第二個題裡問題二讓那項消失 右邊第一項解出來的解
[(x^3)/6-(x^2)/9]e^x 減掉我所給答案 並不為其次解e^x或xe^x或e^2x
所以顯然是錯的 我想你應該沒實際去算才會給我特解部唯一的答案吧
希望有人可以給我答案阿
※ 編輯: w0a3y5n8e1 (36.238.187.202), 10/15/2015 16:08:09