Re: [理工] 離散
打完一堆，看到 kiki86151 大已經回文XD。
小弟的方法比較複雜，很可能有錯XD 跟大家討論一下。
第一題原式為 (x-2y+3z-4/z+5)^16
展開之後，每一項的通式為:
C*(x^a)*(y^b)*(z^c)*((1/z)^d)*(5^e)
每一項就是看每個括弧裡面選到的是哪個變數，總共16個括弧連乘。
因為要找的是相異項，不同括弧選法的重複項不用考慮。
前面的C是每個變數的係數帶次方之後的乘積，也不用管它。
首先，如果暫時不管z和1/z消去的問題，那麼所有次方數相加等於16，也就得到下式:
a + b + c + d + e = 16
如同推文的大大所說，答案為H(5,16)。
現在我們考慮z和(1/z)消去之後，剩下z^(c-d)。其中 -16<= (c-d) <=16。
舉例而言，c-d=0 的情況有9種，也就是c=d=0,1,2,...,8。
這9種情況我們只考慮c=d=0即可。
以下用(a,b,c,d,e)的格式來討論。(e.g. (a,b,c,d,e)=(1,1,0,0,13))
(1) (1,1,0,0,13) 和 (1,1,k,k,14-2k)得到的項都是 xy。(5^(14-2k)為常數，1<=k<=7)
(2) (3,5,0,0,8) 和 (3,5,k,k,8-2k)得到(x^3)*(y^5)。(1<=k<=4)
如此，可推知c=d=1,2,...,8的情況都被包含在c=d=0中。
其他的c-d的狀況以此類推如下:
c-d=0 -> c=d=0
c-d=1 -> c=1, d=0
c-d=2 -> c=2, d=0
...
c-d=16 -> c=16, d=0
c-d=-1,-2,...,-16 和 c-d=1,2,...,16 對稱。
現在問題變成，c+d = 0,1,2,...,16 , 其中 c+d=1,2,...,16的情況要兩倍。
令 m=c+d ，計算 a + b + m + e = 16 的 integer solution。
(1) m = 0: H(3,16)
(2) 1<= m <=16, H(4,15)*2 (對稱情況)
答案等於(1)+(2)。
以上，請大大們指教。
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02/08 22:39, , 1F
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