Re: [理工] 工數傅立葉轉換
※ 引述《jay22700809 (哈摟)》之銘言：
: 請問((2sin(t))/t)^2\的傅立葉轉換怎麼求呢?
2 sint 2
F { (─────) } = ???
t
2 sint 2 sint
F{ ───── × ───── }
t t
Duality
F { F{ f(t) } } = 2π f(-t)
g(t) = { H(t+1) - H(t-1) } , H = Heaviside
2 sinω
F{g(x)} = G(ω) = ─────
ω
2
G(ω) = F(ω) = F{ f(t) }
2
F{ G(ω) } = 2πf(-t)
2
F{ g * g } = F{ f } = F(ω) = G(ω) , * 代表摺積
∞
f = g * g = ∫ (H(a+1)-H(a-1)) ×(H(t-a+1)-H(t-a-1)) da
-∞
特色 H(-A) ≠ - H(A)
H( a - 1 ) - H( a - 2 ) 代表 1 < a < 2 大小等於 1 其他地方 0
而 H(-(a - 1)) - H(-(a - 2)) 代表有 1 < a < 2 大小等於 -1
a < 1 大小等於 0
a > 2 大小等於 0
∞
∫ [ H(a+1)-H(a-1) ] [ H(-( a - (1+t) )) - H(-( a - (t-1) )) ] da
-∞
設裡面一大串等於 I(a,t)
而對於所有 t 而言 , t+1 > t-1
∞
-∫ [ H(a-(-1))-H(a-1) ] [ H(-( a - (t-1) )) - H(-( a - (t+1) )) ] da
-∞
∞
= -∫ I(a,t) dt
-∞
∞
= -∫ Box(-1,1) Box(t-1,t+1) da
∞
Box 這個函數是我自己打的， Box(-1,1) 代表若 a 落在 -1 ~ 1 的話 Box = 1
否則都會等於零
對於 -∞ < t < -2 ,
積分上下限取聯集 (紙上畫圖最清楚)
∞ 1
-∫ I(a,t) da = -∫ Box(t-1,t+1) da = 0
-∞ -1
對於 -2 < t < 0
∞ 1 t+1
-∫ I(a,t) da = -∫ Box(t-1,t+1) da = -∫ da = -(t+1+1) = -t-2
-∞ -1 -1
對於 0 < t < 2
∞ 1 1
-∫ I(a,t) da = -∫ Box(t-1,t+1) da = -∫ da = -(1-t+1) = t-2
-∞ -1 t-1
對於 2 < t < ∞ (沒有聯到)
∞ 1
-∫ I(a,t) da = -∫ Box(t-1,t+1) da = 0
-∞ -1
故!!!
┌ -t - 2 , -1 < t < 0
│
f(t) = ┼ t - 2 , 0 < t < 1
│
└ 0 , otherwise
Duality
2 sint 2
F{ (─────) } = 2π f(-ω) = Ans(ω)
t
┌ 2π(t + 2) , -1 < t < 0
│
Ans(ω) = ┼ 2π(-t + 2) , 0 < t < 1
│
└ 0 , otherwise
給圖
http://ppt.cc/Z8OC
有錯誤請指證^^"
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◆ From: 140.112.16.74
※ 編輯: ntust661 來自: 140.112.16.74 (10/06 13:35)
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10/06 17:48, , 1F
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10/06 22:33, , 2F
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討論串 (同標題文章)