Re: [理工] 矩陣的方程式?
※ 引述《eddyxd (阿魁亞)》之銘言：
: R是一個3x3矩陣(未知)
: A,B,C,D均是已知3x3矩陣
: 已知恆等式為 :
: 1) A + B*R + C*R^2 = 0
: 2) B*R + D = 0
: 這樣有可能解的出來嗎?
: 或者要做些甚麼轉換呢?
: 不知道有板友可以分享給我些關鍵字讓我google看看相關資料嗎?
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工數不會教你算這個XD
你可能要往像是 optimization 方面的知識來看
最快的方法就是找 paper 看
因為一般這類非線性系統的 eq. 常會遇到無解的情況
即使有解，也要考慮到通解在 computer 上的浮點計算問題等等
所以比較常用的方法就是 iteratively 的逼近您所想要的東西
例如假設 f(R) = A + B*R + C*R^2
g(R) = B*R + D
則 R = arg min{ k*│f(R)│_F + │g(R)│_F } , k 為常數 (penalty)
R
你可以上網查像是 Quadratic Matrix Equation 這類關鍵字
有不少像是 Newton Method 來解這類問題
不過您可能還要在把你的問題改寫一下
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若只想單純用代數角度解之
可以假設 R 可對角線化，並令 R 有一 eigenvalue λ
w.r.t. eigenvector v
則由 ┌ f(R)v = 0 可得 ┌ Av + λBv + (λ^2)Cv = 0 ____(1)
└ g(R)v = 0 └ λBv + Dv = 0 ____(2)
┌ A B ┐┌ v ┐ ┌ 0 C ┐┌ v ┐
(1) 式可改寫成 │ ││ │ = (-λ)│ ││ │
└ 0 I ┘└ u ┘ └ -I 0 ┘└ u ┘
再將 (2)式合併到 (1)式, 則問題可簡化成:
┌ A B ┐ ┌ 0 C ┐
Φφ = (-λ)Ψφ , 其中 Φ = │ 0 I │ 、Ψ = │ -I 0 │
└ D 0 ┘ └ B 0 ┘
φ = [ v, u]^T
也就是問題被改寫成類似 generalized eigenvalue problem
接下來就是設法找出 3個線性獨立的 vector φ
把其中的 v 萃取出來，就可以知道 R = ?
找不到的話，就只能 approximation 了
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