Re: [理工] 成大96工數第5題
※ 引述《bodple (摳摳)》之銘言：
: (a) 計算f(x)=e^-x的Fourier cosine transform (x>0)
: (b)利用(a)小題的結果,求出 1/[((x^2)+1)^2]的積分 (積分區間:0到正無限大)
: (a)小題我算出來的答案是 1/[(w^2)+1]
: 想請問版上有沒有人有算過這題嗎 謝謝~~
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∞
假設 F(s) = ∫ f(t)*cos(st) dt
0
2 ∞
f(t) = ── ∫ F(s)*cos(st) ds
π 0
轉換對存在，且 f(t) 為片段連續函數
∞ ∞ ∞
則 ∫ F(s)*F(s) ds = ∫ F(s)* [∫ f(t)*cos(st) dt ] ds
0 0 0
∞ ∞
= ∫ ∫ F(s)*f(t)*cos(st) dt ds
0 0
∞ ∞
= ∫ ∫ F(s)*f(t)*cos(st) ds dt by Fubini's thm.
0 0
π ∞
= ──∫ f(t)*f(t) dt
2 0
套一下上式就能算 (b) 小題了
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ps:
上面那個公式我不確定能不能叫 Parseval's thm.
因為 Parseval's thm. 在 f(t) 是非週期性函數下
time domain 積分上下限應為正負無窮大
並且 F(s) 和 f(t) 是 Fourier Transform 的關係
只是該公式和 Parseval's thm. 背後所呈現出來的意義相同的就是了
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