[理工] [線代] 矩陣表示法

看板Grad-ProbAsk作者時間15年前 (2010/11/29 00:21), 編輯推噓8(8推 0噓 32→)
留言40則, 7人參與, 7年前最新討論串1/2 (看更多)
題目如下： Given a linear operator L(p(x)) = p(1)p'(x) + p(1), (a) Find the matrix representation of L with respect to the ordered bases β = {1, x, x^2} and γ = {1, 1+2x}. (b) Use the matrix representation in (a) to find the coordinate of L(x^2 + 2x + 2) with respect to the ordered basis γ = {1, 1+2x} sol: (a)小題是求相對於兩個基底的矩陣表示法 ┌ ┐ [L]γ←β = │1 2 0│ │0 0 1│ └ ┘ (b)小題是說根據(a)小題的結果來接著繼續算下去 照題目方法算： ┌ ┐ 因為 [x^2 + 2x + 2]β =│2│ │2│ │1│ └ ┘ => [L(x^2 + 2x + 2)]γ = [L]γ←β 乘上 [x^2 + 2x + 2]β ┌ ┐ 所以答案是：│6│ │1│ └ ┘ ## 但我考慮用另一個思維而不使用這個方式算卻得出錯誤的答案 如下： 因為 p(x) = x^2 + 2x + 2, p(1) = 1+2+2 = 5 ┌ ┐ ┌ ┐ L(x^2 + 2x + 2) = 5(2x+2)+5 = 15 + 10x = 10│1│+ 5│1│ │0│ │2│ └ ┘ └ ┘ ┌ ┐ 故得出 [L(x^2 + 2x + 2)]γ = │10│ │ 5│ └ ┘ 兩種方法結果不同，不知道是哪裡產生問題，還是觀念上有謬誤， 請大家指教！ 擷圖版：http://FileDeck.net/zh-tw/files/0NYTL12V/100_0112.jpg
-- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.37.170.114
推
11/29 00:33, , 1F
因為x^2 + 2x + 2 是在標準基底
11/29 00:33, 1F
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11/29 00:33, , 2F
你這樣做只是L對標準基底作用完寫成γ之座標而已
11/29 00:33, 2F
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11/29 00:34, , 3F
題目要求的是γ到γ
11/29 00:34, 3F
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11/29 00:34, , 4F
所以你的x^2 + 2x + 2要先寫成γ之線性組合
11/29 00:34, 4F
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11/29 00:35, , 5F
再代入L 再寫成γ之座標
11/29 00:35, 5F
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11/29 03:16, , 6F
我覺得原po沒算錯耶...問題好像是出在L非線性?
11/29 03:16, 6F
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11/29 09:58, , 7F
基本上題目已說是線性的了
11/29 09:58, 7F
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11/29 09:59, , 8F
再來根據GamesWang所說的，題目應該不是要求γ到γ
11/29 09:59, 8F
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11/29 10:01, , 9F
且x^2 + 2x + 2若不先經過L函數，使之從三維對映到二維
11/29 10:01, 9F
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11/29 10:03, , 10F
我不知道x^2 + 2x + 2怎麼直接寫成γ的線性組合？
11/29 10:03, 10F
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11/29 10:23, , 11F
另外之所以你會覺得它是γ到γ，
11/29 10:23, 11F
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11/29 10:24, , 12F
你應該是覺得他簡寫成一個γ吧
11/29 10:24, 12F
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11/29 10:25, , 13F
據我所知，只有在定義域和對應域是同基底（同維度）的情況
11/29 10:25, 13F
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11/29 10:27, , 14F
才有可能是γ到γ，故這裡應該視為一個γ的座標才對吧？！
11/29 10:27, 14F
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11/29 10:44, , 15F
另一個類題我用兩種方法算，結果答案一樣，如下：
11/29 10:44, 15F
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11/29 10:47, , 17F
我不清楚是有什麼條件還是限制，答案應該不是單純巧合？！
11/29 10:47, 17F
推
11/29 13:24, , 18F
囧 對 我看錯了 因為我看到[L(x^2 + 2x + 2)]γ Orz
11/29 13:24, 18F
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11/29 13:25, , 19F
我想可能是題目本身有問題 他說linear operator
11/29 13:25, 19F
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11/29 13:26, , 20F
可是他不是V→V 是V→W
11/29 13:26, 20F
推
11/29 16:22, , 21F
所以我覺得是題目錯啊....L根本就不是線性的
11/29 16:22, 21F
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11/29 16:23, , 22F
你算法本來就沒錯 你的另一題答案會對是因為它是線性的
11/29 16:23, 22F
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11/29 16:24, , 23F
還有,是不是線性跟他是V→V還是V→W沒有關係...
11/29 16:24, 23F
推
11/29 17:16, , 24F
我知道沒關係 只是他說linear operator就不對了...
11/29 17:16, 24F
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11/29 17:21, , 25F
感謝兩位，我大概知道問題癥結了，應該是題目有瑕疵
11/29 17:21, 25F
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11/29 17:22, , 26F
事實上這題出的有點矛盾，第一：它根本不是線性的
11/29 17:22, 26F
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11/29 17:23, , 27F
稍加驗證即知，它不滿足純量積的封閉性
11/29 17:23, 27F
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11/29 17:24, , 28F
第二：它也不可能是linear operator
11/29 17:24, 28F
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11/29 17:26, , 29F
題目的函數就敘述了3維→到2維，所以也矛盾
11/29 17:26, 29F
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11/29 17:27, , 30F
所以這題應該就是以假設它對的情況下根據題意要求作答即可
11/29 17:27, 30F
推
11/29 22:52, , 31F
那是不是不同維度的轉換linear functional或是同維的
11/29 22:52, 31F
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11/29 22:53, , 32F
同維度的轉換operator!你的做法都通用!
11/29 22:53, 32F
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11/29 22:53, , 33F
這次是因為題目本身的非線性所造成的!我想法有錯嗎？
11/29 22:53, 33F
推
11/29 23:47, , 34F
對 那是原本函數的做法
11/29 23:47, 34F
推
11/30 00:32, , 35F
沒錯 這題是因為題目非線性 我還去問小黃@@
11/30 00:32, 35F
推
12/01 20:22, , 36F
這題我做的時候也卡很久在這裡...後來我就肯定這題題目根
12/01 20:22, 36F
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12/01 20:22, , 37F
本就不是線性...
12/01 20:22, 37F
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08/09 10:56, , 38F
我知道沒關係 只是他說 https://muxiv.com
08/09 10:56, 38F
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09/11 14:04, , 39F
同維度的轉換opera https://daxiv.com
09/11 14:04, 39F
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12/15 00:27, 7年前 , 40F
我不清楚是有什麼條件還 https://muxiv.com
12/15 00:27, 40F
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