Re: [理工] [工數] 高階非線性ODE
※ 引述《usa0204got (便秘)》之銘言：
: 2
: 1. xyy"+x(y') -yy'=0
: 2
: 2. xy"+(x - 1)(y'-1)=0
: 兩題不會... 感謝幫忙解答的人
1. 令 y=exp(z(x)), 故 y' = z' exp(z), y''=z'' exp(z) + (z')^2 exp(z)
代回 ODE 中可得
x exp(z) ( z'' exp(z) + (z')^2 exp(z) ) + x ( z' exp(z))^2
- exp (z) z' exp(z) = 0
整理可得
x z'' + 2 x (z')^2 - z' =0
再令 p = z', 故 p' = z'' 代回上式 , 可得
x p' + 2x p^2 - p = 0 , 即
x dp - p dx + 2x p^2 dx =0
x^2 d(p/x) + 2x p^2 dx = 0
(x/p)^2 d(p/x) + 2x dx =0
- (x/p) + x^2 = c1 故
p = z' = x/(x^2 - c1) , 即 z = (1/2) ln |x^2-c1| +c2
故 y = exp( (1/2) ln |x^2 - c1| +c2 ) = c3 (x^2-c1)^(1/2)
c1, c3 為任意常數
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