Re: [理工] [線代] 中正98-應數所
※ 引述《dragon8332 (阿橘)》之銘言：
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: 請大大們幫忙第5題的d小題 拜託了~謝謝!!
Prove or disprove:
n*n 2
Let A屬於Ｒ and N(A) be the null space of A. Then dim(N(A )) ≦ 2*dim(N(A))
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嗯其實想了一段時間還是想不出來...所以只是想提一下目前的想法和大家討論討論
本來是想要找反例 不過一直找不到...所以想說證明看看
我是用特徵根的角度去想的
Case 1: A之特徵根皆不為0
2
則A為可逆矩陣 A 亦可逆
所以兩者的null space都只有0向量 維度皆為0
0 ≦ 2*0 成立
Case 2: A之特徵根皆為0
則A為nilpotent 那就可以畫出點圖
點圖的最右行的點數和為dim(N(A))
2
點圖的最右行+倒數第二行的點數和為dim(N(A ))
而以不變集的規定來說
畫出來的點圖 倒數第二行的點數不會超過最右行的點數(頂多相等)
2
所以dim(N(A )) ≦ 2*dim(N(A)) 成立
Case 3: A之特徵根中有0，但不全為0
............然後就卡在這了......
有試著用這個Case 3的矩陣去找反例 但還是找不大到 (也有可能只是我沒找到...)
所以我想問的是 點圖是只能使用在nilpotent的狀況嗎?
還是說不是nilpotent的也可以畫 而且規定一樣
只是它整個圖的點數和不會等於該空間的維度?
麻煩各位版友解答了 謝謝!
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※ 編輯: volleyer 來自: 112.104.36.215 (10/06 10:54)
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