Re: [理工] [線代]-科西科西不等式證明
※ 引述《SS327 (土豆人)》之銘言：
: 科西不等式l<X,Y>l_< IIXIIIYII
: PF:
: <X,Y>
: -l_<COSθ=—————_<l
: IIXIIIYII
: -IIXIIIYII_< <X,Y> _<IIXIIIYII
: l<X,Y>l_< IIXIIIYII
: 可以這樣證嗎??我問老師老師說不行哩(老師說的我聽不懂)@@@為什麼阿....
: 我打字好難看唷，誰可以教用什麼軟體或怎麼打阿
: ~
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能不能像原po這樣證
要看你對 inner product 的定義是如何
若是 Euclidean inner product
如 < X , Y > := x1*y1 + x2*y2 for X = [ x1 x2 ]^T
Y = [ y1 y2 ]^T
那原 po 打的證明可以算對 (不過可再寫詳細點)
但是對廣義的 inner product 就不能這樣證明 (要套原始定義)
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remark:
if x & y are in S which is a vector space
<1> 何謂 norm ∥x∥ ?
<2> 何謂 x 和 y 的 inner product < x,y > ?
( 請自行翻閱線性代數課本 )
question:
proof ｜<X,Y>｜ ≦ ∥X∥*∥Y∥ for any X、Y 屬於
vector space S with induced norm ∥‧∥,
and equality holds iff Y = kX for some scalar k
pf:
(1) _
if Y = 0 → ∥X∥*∥Y∥ = 0 = ｜<X,Y>｜
check k = 0
(2) _
if Y ≠ 0
給定任意一實數 k:
∥Y-kX∥^2 = < Y-kX , Y-kX >
= <Y,Y> + <Y,-kX> + <-kX,Y> + <-kX,-kX>
= <Y,Y> - k<Y,X> - k<X,Y> + (k^2)<X,X>
= <Y,Y> - k<X,Y> - k<X,Y> + (k^2)<X,X>
= <Y,Y> - 2k<X,Y> + (k^2)<X,X>
因為 < Y-kX , Y-kX > ≧ 0
所以 ak^2 - 2bk + c ≧ 0 for a = <X,X>
b = <X,Y>
c = <Y,Y>
→ 4b^2 - 4ac ≦ 0 since a≧0
→ ｜b｜ ≦ √(ac)
or ｜<X,Y>｜ ≦ √(<X,X><Y,Y>)
= ∥X∥*∥Y∥
等號成立於 < Y-kX , Y-kX > = 0
_
<==> Y - kX = 0
or Y = kX
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.47.130
推
07/11 01:36, , 1F
07/11 01:36, 1F
例如:
b
< f(t) , g(t) > := ∫ f(t)*g(t) dt if f(t) & g(t) defined over [a,b]
a and 在此區間上可積
可以驗證上述的定義滿足 inner product
那 Cauchy-Schwarz Inequality 會變成：
b 2 b 2 b 2
( ∫ f(t)*g(t) dt ) ≦ ∫ f(t) dt * ∫ g(t) dt
a a a
該不等式 math 板可以爬一下文，有不少證明方式
若照 Euclidean inner product 的證明方式
應該會蠻怪的 XD
※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.47.130 (07/11 01:44)
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07/11 01:38, , 2F
07/11 01:38, 2F
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07/11 01:39, , 3F
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07/11 02:02, , 4F
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07/11 02:04, , 5F
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07/11 02:05, , 6F
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討論串 (同標題文章)
本文引述了以下文章的的內容：
完整討論串 (本文為第 2 之 2 篇)：