Re: [理工] [工數]PDE一題
※ 引述《MoToBlue (MoToBlue)》之銘言：
: d2y/dt2 = 4 d2y/dx2 for 0<X<3 t>0
: y(0,t)=y(3,t)=0 for t>=0
: y(x,0)=0 dy/dt(x,0)=x(3-x) for 0<=x<=3
: d表示趴休...
: 請用如何解...
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假設 L{y(x,t)} = Y(x,s) , 表 L{} 為 y 對 t 取 Laplace Transform 的算子
則:
δ^2 y δ^2 y
──── = 4 ───
δt^2 δx^2
2 δ d
→ s U(x,s) - s*y(x,0+) - ──y(x,0+) = 4 ───U(x,s)
δt dx^2
2 d
→ s U(x,s) - x(3-x) = 4 ───U(x,s)
dx^2
sx/2 -sx/2 x^2 3x 8
→ U(x,s) = c1(s)*e + c2(s)*e - ── + ── - ── ____(1)
s^2 s^2 s^4
接著利用:
┌ L{y(0,t)} = 0
└ L{y(3,t)} = 0
帶入(1) 式，可知:
┌ 0 = c1(s) + c2(s) - 8/s^4
│
│ (3/2)s (-3/2)s
└ 0 = c1(s)*e + c2*(s)*e - 8/s^4
4 -(3/2)s
┌ c1(s) = ────────[ 1 - e ]
→ │ (s^4)*sinh(3s/2)
│
│ 4 (3/2)s
└ c2(s) = ────────[ e - 1 ]
(s^4)*sinh(3s/2)
所以
8{sinh(sx/2) - sinh[(3-x)s/2]} x^2 3x 8
U(x,s) = ─────────────── - ── + ── - ──
(s^4)*sinh(3s/2) s^2 s^2 s^4
4 3
→ y(x,t) = {──t u(t)} conv {δ(2t+x) - δ(2t-x) - δ(2t-3+x) + δ(2t+3-x)}
3
∞
conv 4 Σ δ( 2t - 3(2n+1) )
n=0
2 4 3
+ (-x + 3x)t*u(t) - ──t u(t)
3
這個解第一項看起來很醜
不過用座標系統去看
其實就是把 f(t) = (4/3)t^3 對 t = -x/2 、 x/2 、 (3-x)/2 、 -(3-x)/2
都各複製一份
最後再以周期性 = 3 , 把上述所說的的圖不斷的作 duplicate
再加上兩個不起眼的函數就是答案了 XDD
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