Re: [理工] [通訊]Hilbert
※ 引述《winshain (人就是要磨鍊)》之銘言：
: 請問A[1+cos^2(2πfct)]的Hilbert transform如何解?
: 我算出是有常數項
: 為何答案沒有常數項呢?
: 謝謝!
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2
x(t) = A[ 1 + cos (2πf_c*t) ]
3 cos(4πf_c*t)
= A[ ── + ────── ]
2 2
Aπ
→ X(w) = 3Aπδ(w) + ──[δ(w + 4πf_c) + δ(w - 4πf_c)]
2
→ X(w)H(w) = X(w)*[-i*sgn(w)]
Aπi
= -3Aπiδ(w)*sgn(w) + ──[δ(w + 4πf_c) - δ(w - 4πf_c)]
2
^^^^^^^^^^^^^^^^^^
(註 1)
Aπi
= ──[δ(w + 4πf_c) - δ(w - 4πf_c)]
2
^ Aπi -i4πf_c*t i4πf_c*t
→ x(t) = ───*[ e - e ]
2*2π
A
= ── sin(4πf_c*t)
2
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註 1:
δ(w)*sgn(w) 真的要去算它其實很麻煩
對學工科的人來說
就會直接當它是 = δ(w)*sgn(0) = 0
不過我去看維基百科上
要滿足 δ(w)*f(w) = δ(w)*f(0)
f(x) 須具備 continuous compactly supported
後面那個 supported 對我來說是個陌生的定義 OTZ
不過我看到要具備 continuous 這個條件
就知道肯定不能直接把 w=0 套進去
-1
或許 F {δ(w)*sgn(w)} = 0 也說不定 (我覺得是不存在)
不過原因肯定不是單純套 w=0 下去那麼簡單
但是對學工程的人來說
還是會把直流成分那項 經過 H(w) 後會視為 0
因為真實電路上
你不可能真的給一個時間從 負無窮大 ~ 正無窮大 的直流訊號餵下去
(對數學model來說，直接算 hilbert transform 一定發散)
因此對一個 t在有限的區間來說
直流訊號通過去
t>0 和 t<0 的成分會剛好抵銷調 (沒實際算過，原po可以自己算看看)
詳細情況可能要問一下教授 ＝＝ll
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討論串 (同標題文章)
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完整討論串 (本文為第 2 之 3 篇)：