Re: [理工] [向量]
※ 引述《gn00648013 (大偉)》之銘言：
: Solve the following partial differential equation
: d^2u + d^2u + d^2u
: ---- ---- ---- =0 for 0<=x<=a, 0<=y<=b and 0<=z<=c
: dx^2 dy^2 dz^2
: with the boundary conditions
: u(0,y,z)=0 , u(a,y,z)=0 , u(z,0,z)=0,
: u(x,b,z)=0 , u(x,y,0)=0 , u(x,y,c)=f(x,y)
: where a , b and c are constants
: ------------------------------------------------------------------
4 ∞ ∞ mπx nπy
令 u = ---- sum sum Bmn sin(------)sin(------)
ab m=1 n=1 a b
∞ ∞ mπx nπy
其中Bmn = ∫ ∫ u sin(------)sin(------)dxdy
0 0 a b
mπx nπy
左右兩式 同時乘以 sin(------)sin(------) ,積分x:0~∞ y:0~∞ 得
a b
2
mπ 2 nπ 2 d
-[(----) + (----) ]Bmn + ----Bmn = 0
a b 2
dz
mπ 2 nπ 2 1/2 mπ 2 nπ 2 1/2
[(----) + (----) ] z -[(----) + (----) ] z
a b a b
Bmn = C1 e + C2 e
∞ ∞ mπx nπy
又Bmn = ∫ ∫ u sin(------)sin(------)dxdy
0 0 a b
取u(x,y,0) = 0
Bmn = 0 = C1 + C2
取u(x,y,c) = f(x,y)
mπ 2 nπ 2 1/2 mπ 2 nπ 2 1/2
[(----) + (----) ] c -[(----) + (----) ] c
a b a b
Bmn = C1 e + C2 e
∞ ∞ mπx nπy
= ∫ ∫ f(x,y) sin(------)sin(------)dxdy
0 0 a b
然後...我就不知道該怎辦了XDDDDD 應該把C1 C2 給換出來
接著寫成Bmn 帶回u
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推
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