[理工] [工數]-部份分式
關於部分分式
F(s)=P(s)/Q(s)
(1) P(s),Q(s) 為實係數多項式
(2) degQ > degP ,(若degP >= deg Q 長除法化簡)
Case1. Q(s)=0 具相異實根
P(s)
F(s)=-------------------------
(s-a1)(s-a2)...(s-an)
A1 A2 An
=------ + -------- + ... + -------
(s-a1) (s-a2) (s-an)
係數求法:
Ai=lim(s-ai)F(s)
s->ai
上式告訴我們如果要求A1值,僅需將Q(s)項之(s-a1)劃掉
其餘s代a1所得之值即為A1.
範例:
s A B
---------- = ---------- + -----
(s-1)(s-2) (s-1) (s-2)
s
呈上述所說,欲求A,B之值.即將s-1劃掉餘下項為------
s-2
緊接著將s=1帶入餘項.
即可得A=-1 ,同理可得B=2
Case2. Q(s)=0 具重實根
P(s) A1 A2 Ak
F(s)=--------------- =(------- + ------- + ... + -------)
(s-a)^k(s-b) s-a (s-a)^2 (s-a)^k
B
+ ------
s-b
係數求法:
B=lim(s-b)F(s) (同上相異實根作法)
s->b
Ai也有所謂的公式可以求,但在此不建議
(若需求出各項,過程中需要微分,且不會快到哪去)
故在僅求Ak(分母最高次系數,較方便),
同上述方法同乘(s-a)^k後將s=a帶入可得.
範例:
s A1 A2 B
------------ = ------- + -------- + -------
(s-1)^2(s-2) (s-1) (s-1)^2 (s-2)
B值求法同前,將s-2劃掉,代s=2. 得 B=2
A2值求法雷同,將(s-1)^2劃掉,代s=1. 得 A2=-1
接著是A1怎麼求,這個技巧頗重要.
將等號兩邊同乘s,並且將s->∞.可得0=A1+B .故A1=-2
Case3. Q(s)=0 具共軛根
P(s) E(s-a) + F
F(s)=---------------------------- = ----------- +
[(s-a)^2+b^2][(s-c)^2+d^2]^k (s-a)^2+b^2
G(s-c) + H I(s-c)+J
{----------- + --------------- + .... }
(s-c)^2+d^2 ((s-c)^2+d^2)^2
係數求法:當然也有所謂的公式法,
但比較建議左右化簡比較系數(or代值).
範例:
s As+B C
-------------- = ---------- + ---------
(s^2+1)(s-1) s^2+1 s-1
C值根據前面的經驗可以輕鬆得到C=1/2
接著就是比較係數(or代值)求AB
先藉由case2所提到的技巧,左右同乘s,s->∞ 得A+C=0之關係.
可知A=-1/2
接著s隨便帶個值即可解出B=1/2
幾個常用化簡
1.
1 A B
--------------------- = ---------- + ---------
(s^2+-a^2)(s^2+-b^2) s^2+-a^2 s^2+-b^2
A,B求法可和case1,雷同,將s^2視為x即可
2.
s A B
--------------------- = {---------- + -----------}s
(s^2+-a^2)(s^2+-b^2) s^2+-a^2 s^2+-b^2
先不管s,即和1相同
3.
s^2 (s^2+-a^2)-+a^2
------------------- = -------------------
(s^2+-a^2)(s^2+-b^2) (s^2+-a^2)(s^2+-b^2)
1 a^2
=----------- -+ ------------------
(s^2+-b^2) (s^2+-a^2)(s^2+-b^2)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~
此項同1
也可以把s^2看作x直接當case1來做
4.
s^3 s(s^2+-a^2) -+ a^2s
-------------------- = -------------------
(s^2+-a^2)(s^2+-b^2) (s^2+-a^2)(s^2+-b^2)
1 a^2s
= ----------- -+ --------------------
(s^2+-b^2) (s^2+-a^2)(s^2+-b^2)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
此項同2
參考看看,
(懶的排版了Q_q)
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