Re: [理工] [工數]-請教一題拉斯逆轉換
※ 引述《squallting (SQ)》之銘言：
※ 引述《gn00648013 (大偉)》之銘言：
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◆ From: 140.112.231.201
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賺一下 P 幣 OTZ
不是我想太多
而是用 Laplace Transform 解 O.D.E. 時
所必須要有的認知
凡是用 LT 轉任一個訊號
假設把 f(t) 對 t 轉的話
L{f(t)} = F(s)
-1
→ L {F(s)} = f(t)u(t)
也就是原本一個訊號 f(t) for t屬於R
經過 Transform 回來後
只有 t>0 的部分可以完整的 decode
而 t<0 部分會被視為 0 (也就是丟掉訊號)
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所以可以仔細看一下工數一般所出的 ODE 題目:
L(D)y = f(x)
若題目想要你用 LT 來解的話
那 f(x) 通常會寫成 如 " (...)u(x) "
或是 = ┌ ... if 0<x<3
└ ... if x>3
這類寫法
因為這樣變成只是在問 x>0 部分的解
其它區間的解 題目不 care
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我舉個實例比較容易瞭解:
ex:
solve y'' - 3y' + 2y = 4t with y(0)=1 and y=y(t)
y'(0)=-1
假設上面那題用 LT 解的話:
(s^2)Y - s + 1 - 3(sY - 1) + 2Y = 4/s^2
3 2 -1 -1
→ Y = ── + ── + ── + ──
s s^2 s-1 s-2
→ y(t) = [3 + 2t - e^t - e^(2t)]u(t)
= ┌ 3 + 2t - e^t - e^(2t) if t>0
└ 0 if t<0
當 t>0 時，將 y(t) 帶入 O.D.E. 是滿足的
但是當 t<0 時， 將 y=0 帶入 O.D.E. 卻不合
這就是利用 LT 解 O.D.E. 後
其訊號 y(t) 會失真的例子
所以題目若想要嚴謹的出
它會把 O.D.E. 寫成這種型態:
y'' - 3y' + 2y = 4t*u(t)
這樣不論是 t>0 還是 t<0
y(t) 皆會滿足 O.D.E. 的解
或是題目會額外註明 t>0 這個條件
如此一來吾人就只需要 care y(t) 在 t>0 的情況
而 y(t) 在 t<0 的狀態下
題目管不著，也沒問到
因此你要如何敘述 y(t) 在 t<0 時為何
對題目來說不影響
( 以 LT 的作法來說， y(t)最後會是0 if t<0 )
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萬一題目出了如 y'' - 3y' + 2y = 4t
還要你用 LT 解這題 O.D.E.
那解決方法就是分 case 討論:
<1> t>0:
用 LT 解出 y(t)
<2> t<0:
令 x=-t >0
將原 O.D.E. 改寫成 y 為 x 的 O.D.E.
再用 LT 解出 y(x) = y(-t)
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◆ From: 140.113.141.151
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03/10 15:28, , 1F
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完整討論串 (本文為第 6 之 6 篇)：