Re: [理工] [工數]-Fourier積分
※ 引述《msu (do my best)》之銘言：
: 請問
: +∞ xcosx
: ∫ ------------dx
: -∞ x^2 -3x+2
: 這一題如何用複變解呢?
: 感謝回答^^
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考慮積分 z*e^(iz)
S(R,ε1,ε2) = ∮ __________ dz = ∮ f(z) dz
C (z-1)(z-2) C
其中 C: 從 z=R 依逆時針徒步越過中央山脈 |z|=R 到 z=-R 後，
再往正實數軸方向搭捷運，中途 依順時針越過兩座小山:
|z-1|=ε1 、 |z-2|=ε2 , 最後返回 z=R
可知
S(R,ε1,ε2) = 0
當 R→∞ , 因為是徒步， 上半圓路徑 |z|=R 積分 = 0
┌ ε1→0 → 因為是搭捷運，且繞過兩個小上半圓 |z-1|=ε1
└ ε2→0 |z-2|=ε2
但只有繞一半，只需要 πi*[Res{f(z),1} + Res{f(z),2}] 元
而且積分路徑是 "順時針" 繞
這筆錢反而是捷運站要給你XD (要記得變負號)
所以 lim S(R,ε1,ε2) = 0
R→∞
ε1,ε2→0
∞
→ ∫ f(x) dx - πi*[Res{f(z),1} + Res{f(z),2}] = 0
-∞
∞ x*e^(ix)
→ ∫ __________ dx = πi*[Res{f(z),1} + Res{f(z),2}]
-∞ (x-1)(x-2)
e^i 2*e^(2i)
= πi*[ _____ + ________ ]
(1-2) (2-1)
= π(sin1 - 2*sin2) + πi(2*cos2-cos1)
∞ x*cosx
→ ∫ __________ dx = π(sin1 - 2*sin2) ____取實部
-∞ (x-1)(x-2)
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