Re: [問卦] 1+1/4+1/9+1/16+...=π^2/6消失

看板Gossiping作者GaussQQ時間7年前 (2017/04/08 13:42)推噓7(9推 2噓 10→)

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大魔法師肥宅周末沒人約只好來發發廢文 1. 如果要證明這個級數和存在是相當簡單的問題。有個定理是說: 如果一個數列遞增有上界則極限存在。(其實這定理跟實數完備性等價) 利用這個定理，令 a_n=1+1/4+1/9+...+1/n^2 當n遞增時，則這數列顯然遞增。顯然這數列有個上界 a_n<1+1/2+1/6+....+1/(n-1)n<2 後面的等式用分項向對消法因此極限存在。因此下個問題自然是問說這極限到底是多少? 推文提到了幾個方法，通常工數教的就是傅立葉分析，但是並不是很"直觀"的解決這問題。當然這問題要算極限有很多辦法。在歷史的角度這問題在白努力的手中沒有解決後來是Euler把這問題解決的是他身為數學家的成名作之一。他的想法相當單純且巧妙。概述如下: 基本上他的idea是從大家學過一個簡單的事實考慮一個二次多項式叫做f(x)則如果知道他的兩個根叫做a,b 則會存在一個常數c使得 f(x)=c(x-a)(x-b) 同理n次多項式如果有n個根，也會有類似個結果。 *如果把這個簡單的想法推廣到無窮多項式"Power series"如果可以成立* 這個觀點就是解決這問題的關鍵。 Euler的觀察: sin x=x+x^3/3!+x^5/5!...... <== sin x在0點的泰勒展開式然後我們又知道 sin x有零根在0,±π,±2π,...,±nπ , 對所有的正整數n 因此利用剛剛提的想法想法，應該存在一個常數c使得 x+x^3/3!+x^5/5!......=sin x =c*[x*(1-x/π)(1+x/π)(1-x/(2π))(1+x/(2π))..(1-x/(nπ))(1+x/(nπ))..] 假想把那個無窮乘積展開，由x的一次項可知右邊的係數是c 因此比較可以得到c=1 更近一步觀察x^3係數，可以看出來無窮乘積的係數是: 1/π^2+1/4π^2+.....+1/n^2π^2+..=(1+1/4+1/9+...1/n^2+..)*π^(-2) 但是另一邊泰勒展式給x^3的係數是1/3!=1/6 因此可以得到:(1+1/4+1/9+...1/n^2+..)*π^(-2)=1/6。所以整個證明其實關鍵就在"Power sereis"是不是可以有多項式的定理。那這件事在這情況是對的，雖然Euler也不知道為什麼對。但是他天才般的直覺讓他解決這問題。至於這個事實之所以正確是需要複變數函數論也就是 Weierstrass的工作，很少大學部數學系會教到這個定理有點可惜。這些無窮級數和應該都是有意義的只是人類都還沒有弄清楚。比方說跟K group的關係等我也只是路過的時候聽人說說而已。另一個複變的做法就是考慮大家最愛討論的zeta function 然後想辦法用留數定理去算s=2的取值。ㄎㄎ ※ 引述《tkc7 (至情至性)》之銘言： : 各位理組肥宅安安 : 小弟廢物文組魯蛇 : 什麼數列級數的通通用不到 : 記得之前看過 : 1+1/2+1/3+1/4+1/5+... 會發散 : 因為可以拆成無限多的1/2相加 : 會發散是可以理解的 : 但我就不懂為什麼 : 1+1/4+1/9+1/16+...+1/n^2+... : 不但會收斂 : 而且還收斂到π^2/6 : 竟然出現了π^2這神奇的數字 : 完全不知道從何而來 : 有沒有理組的大大能解釋這當中的八卦 ※ 引述《tkc7 (至情至性)》之銘言： : 各位理組肥宅安安 : 小弟廢物文組魯蛇 : 什麼數列級數的通通用不到 : 記得之前看過 : 1+1/2+1/3+1/4+1/5+... 會發散 : 因為可以拆成無限多的1/2相加 : 會發散是可以理解的 : 但我就不懂為什麼 : 1+1/4+1/9+1/16+...+1/n^2+... : 不但會收斂 : 而且還收斂到π^2/6 : 竟然出現了π^2這神奇的數字 : 完全不知道從何而來 : 有沒有理組的大大能解釋這當中的八卦 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 180.205.137.29 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1491630148.A.BE5.html ※ 編輯: GaussQQ (180.205.137.29), 04/08/2017 13:43:42

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FarkU

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推

focus0215

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kiesoIFRS

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