Re: [問卦] 世界上所有事件都能用數學表示嗎?消失
※ 引述《wayne30349 (怪人)》之銘言：
: 是這樣子的
: 小弟高中的時候，數學老師曾說
: 「世界上的一切都可以用數學式表示」
: 比如說自然現象，像是明天早上太陽幾點起來
: 數學是大自然的語言
: 明天天氣，颱風預測等等
: 如果說像是目前科學無法解釋的事件，僅僅只是目前還找不到式子而已
: 甚至你等等想要幹嘛，都可以用數學式子表示
: 那麼，人類的創造力也可以用數學式子表示嗎? (機率?)
: 到底是老師的一廂情願，還是真的萬物的一切都可以用數學來表達嗎?
: http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d212/21202.pdf
所謂「用數學表示」指的應該是「建立數學模型來描述」。
這件事情就算真的辦得到，也遙遙無期。
最早聲稱這件事的是西元前五世紀的畢達哥拉斯學派，他們認為「萬物
皆數」，也就是說，這世界是有規律的，並且這規律可以是建立在比例
上。他們所謂的比例是整數的比例。例如和聲音階可以藉由撥動各種長
度的弦來發出，但是悅耳的和聲是弦長比恰好為特殊整數比的那種。
就在同一年代，畢氏學派中就有人發現世界上存在無理數（所謂存在的
意思是用尺規做圖可以畫出具有無理數長度的直線），因此就動搖了「
萬物皆數」的信念了。這是人類第一次發現「數學中有些東西是現有的
理論無法切實涵蓋的」，因此稱為第一次數學危機。如果你問這些古希
臘人世上萬物是否可以由數學來表示，他們大概會說：我相信可以，但
目前還沒完成。
兩千五百年後的今日，仍有人抱持這種觀點，例如你的數學老師，並且
我相信這一類人還不少。例如費曼積分還無法好好的數學化，但是仍然
不會打擊這類數學家或物理學家對於數學效用度的信心。
但在說「信不信由你」之前，我們可以再多看一些例子。
讓我們回到第一次數學危機。危機發生約一百年後，數學家 Eudoxus總
算建立了一套涵蓋有理數和無理數的比例理論，這被收錄在歐幾里德的
《幾何原本》而為後人所知。以當時的標準看來，他已經解決了這個危
機。當時歐幾里德很謹慎地定義了點、直線、平行、... 等幾何概念，
並從五條基本公設推導出當時所知的幾何定理。這種「定義—公設—證
明定理」的模式將數學變成一門非常特殊的問科。數學不只是由研究對
象來定義，也關係到如何組織與呈現這些知識。這裡有一點微妙之處，
造成日後危機仍然繼續發生：被妥善組織的只有幾何學，並不包含當時
所有數學，例如整數在《幾何原本》中是沒有定義的！如果我們在這時
候又問一次「世界能否由數學來表示？」，我們會發現（那時人們有興
趣的）幾何相關現象是可以辦到的，但是算術相關的對象就比較尷尬些
：我們用數字來描述這些現象，並且可以操作運算，但對於這些數字卻
沒有本質上的掌握（主要是無理數的問題）。
這麼說來，如果算術僅只是一種描述的方式、具有特定的規則，但卻不
知道為什麼會有效，那麼算術就沒有達到幾何的"理論高度"，這樣算術
是不是僅算是一種語言而不是數學？
古希臘人沒有這個問題，因為他們認為世界是先被幾何化，幾何學就可
以解釋全部的現象，而算術只是從幾何抽象出來的輔助工具而已。這種
想法一直到十八世紀微積分理論大放光明時還是沒變。例如牛頓用微積
分可以推導出許多物理公式，但他仍然選擇用幾何論證來證明這些公式
，因為當時微積分尚未被"公理化"（也就是用定義—公設—證明公式的
方式組織起來）。不要說公理化了，當時連微分運算中最關鍵的無窮小
量都沒有恰當的定義（無論是本體的定義或操作型的定義）。這是史上
第二次數學危機。
因此，數學可以用來表示世界嗎？牛頓或許會說：「幾何學可以，但似
乎不夠用。其他可以用的，似乎不太像標準的數學。」另一方面，牛頓
的工作也真正讓世人相信數學的效力可以解釋世上萬物的規律。（當然
故事仔細講的話會更複雜，又要講到伽利略等等，就暫且接受這種粗略
的說法吧。）
如果我們降低標準，把這些都叫做數學，那麼數學就不再是一門嚴謹的
學問，自甘墮落的結果就是人們也不會再問數學能不能表示世上一切現
象了。所以數學家絕對不能放棄把數學嚴格化！
經過非常多的努力，微積分（特別是極限概念）在十八世紀得到令人滿
意的解決；十九世紀時，連自然數都可以被定義，然後完成公理化。最
後數學家甚至完成了一件事：把所有當時已知的數學都用集合論來公理
化！這麼一來，這些用來解釋自然現象的理論就通通是真正的數學了！
不過後來集合論的一些瑕疵，讓數學家面臨了第三次數學危機，在此略
過不談。值得一提的是，並非所有數學家都認為數學一定要用公理化的
方式來組織，對於「數學應該是什麼樣子」其實有三種主張：形式主義
、邏輯（實證）主義、直覺主義。在此也先略過囉。
至此我們可以發現，原來的問題牽涉到兩個層面：一個是「怎樣叫做有
效的表示」，一個是「什麼是數學」。我以上介紹的主要是後者。至於
前者，是所謂一個數學模型的效力問題，我就只舉一個例子：例如車子
把人撞飛，這是古典力學可以描述的現象，但是即使你具有各種公式，
要從人飛出去的距離計算車速也是不可能的（例如：人體的風阻係數無
法得知，因為人飛出去時會稍微旋轉，幾乎不可能算出空氣阻力）。所
以雖然我們可以說數學和物理公式可以解釋這些現象，但是實際應用卻
不一定可行。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 39.12.12.162
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1469385553.A.A97.html
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我自己看一次也覺得很跳躍，但是我不想太晚睡啊 XD
大家勉強看看就好
多謝不噓之恩
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[補充一下]
中間比較難懂的那幾段想回答的是：用紫微斗數或生命數字之類的東西來
解釋世上現象算不算是用數學解釋？
事實上，mathematics 這個字在羅馬時期指的就是占星術，所以「什麼才
算是數學？」是一件很不容易回答的問題。
※ 編輯: Babbage (140.112.25.105), 07/25/2016 09:56:12
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