Re: [問卦] ½ + ½消失

看板Gossiping作者CKLee時間8年前 (2016/04/25 21:55)推噓440(481推 41噓 98→)

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※ 引述《shaichi5566 (鞋志™)》之銘言： : ½ + ½ 為什等一 : 這定義到底是誰訂出來的 : 二分之一又是甚麼概念 : 有沒有二分之一加二分之一的八卦原 PO 問了兩個問題： 1. 1/2是什麼？ 2. 為何 1/2+1/2 = 1 讓敝魯用數學的語言來回答吧（其實是來賺 P 幣的？）假設我們已經知道了整數集合 Z = { 0, ±1, ±2, ...}，我們要利用整數來建構有理數，這樣便可以完整回答那兩個問題。 Step1: 先考慮集合 R = Z × Z* = {(m,n)| m∈Z, 0≠n∈Z}。這個 R 就是我們要用來建構有理數的開始，可以想成左邊放分子，右邊放分母。 Step2: 對於 (m,n) 及 (p,q) 在 R 裡面，定義一個關係(relation)「~」如下 (m,n)~(p,q) 若且唯若 mq = np 我們證明它是一個等價關係(equivalance relation)，亦即「~」滿足下面三件事情 (a) 對於每個 x∈R，x~x (b) 對於每個 x,y∈R，若 x~y 則 y~x (c) 對於每個 x,y,z∈R，若 x~y & y~z 則 x~z (a) 與 (b) 的證明非常顯然，所以我們只證明 (c)：假設 (m,n), (p,q), (s,t)∈R 滿足 (m,n)~(p,q) 且 (p,q)~(s,t)。根據「~」的定義，我們知道 mq=np & pt=qs，故 mqt = npt = nqs。因為 q 不是零，兩邊除掉 q 後得到 mt = ns。亦即 (m,n)~(s,t)，這證明了 (c)。 Step3: 有了在 R 上的等價關係「~」後，我們就可以定義等價類(equivalance class)如下 _ 對於 x∈R，定義 x = {y∈R | y~x} 我們有以下的定理： _ _ _ _ _ _ 給定 x 與 y，如果 x∩y 不是空集合，則 x = y 定理證明： _ _ _ _ _ 給定 z∈x，因為 x∩y 不是空集合，故存在元素 w∈x∩y。亦即 z~x, w~x 以及 w~y。根據等價關係的 (b) 與 (c)，由 z~x 與 w~x 得到 z~w。再用一次 (c)，由 z~w 與 w~y 得到 z~y，所以 z~y。 _ _ 因此 x 包含於 y。 _ _ _ _ 用同樣地論述可以得到 y 包含於 x，所以 x = y，得證。 _ _ 這個定理的簡單推論是：x~y 若且唯若 x = y。 Step4: 對於 (m,n)∈R，我們把它的等價類記為 m/n。 _____ 也就是說，m/n = (m,n)。 _____ 這邊已經回答了原 PO 的第一個問題了，1/2 的定義就是 (1,2)。而且可以快速知道，1/2 = 2/4 = 3/6 = ... 等等。現在定義有理數集合如下 _ Q = R/~ = {x | x∈R} 然後定義有理數的加法與乘法：給定 m/n, p/q∈Q m/n+p/q = (mq+np)/nq (m/n)(p/q) = mp/nq 不過這樣有個問題，就是我們定義運算的時候，是用等價類的代表元去運算，如果我們換一個代表元的話，運算結果會不會不同呢？也就是說，如果今天 m/n = m'/n' 以及 p/q = p'/q' 的話，那會不會有 m/n+p/q = m'/n'+p'/q' 呢？所以我們現在要證明這樣定義的加法與乘法是好的(well-defined)：假設 m/n = m'/n' 以及 p/q = p'/q'，則根據定理的推論，我們有 (m,n)~(m',n') 與 (p,q)~(p',q')。也就是 mn' = nm' 與 pq' = qp'。故 (mq+np)n'q' = (mn')qq'+nn'(pq') = (nm')qq'+nn'(qp') = (m'q'+n'p')nq，所以 (mq+np,nq)~(m'q'+n'p',n'p')。根據定理之推論，得證 (mq+np)/nq = (m'q'+n'p')/n'q'。另外，(mp)n'q' = (mn')(pq') = (nm')(qp') = (m'p')nq。所以 (mp,nq)~(m'p',n'q')，同樣地得證 mp/nq = m'p'/n'q'。所以加法與乘法都是 well-defined。是說減法與除法不須特別定義，因為他們是加法與乘法的逆運算。 Step5: 有了有理數 Q 之後，我們當然會關心它與原本整數 Z 的關係。考慮這個函數 ι: Z → Q n → n/1 可以輕易地證明函數 ι 保持運算，也就是對於 m,n∈Z，我們有 ι(m+n) = ι(m)+ι(n) ι(mn) = ι(m)ι(n) 另外，顯然地 ι(m) = ι(n) 可以得到 m = n，所以 Z 與 ι(Z) = {n/1 | n∈Z} 代數結構完全相同(isomorphic)。因此我們就把 ι(Z) 看做我們的整數了！也就是說，以後整數 n 都可以看做 n/1 這樣 :D Step6: 現在來回答第二個問題，1/2+1/2 究竟為何等於 1。根據加法的定義，1/2+1/2 = (2+2)/4 = 4/4 = 1/1 = 1。剛剛修文把一些歪掉的符號修到對齊了，不過好像還是一直有符號歪掉 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.51.100 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1461592530.A.D07.html

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barbarian72

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推

henry1915

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s902131

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