Re: [計量] 學測滿級分也算錯的GRE數學題(6)
※ 引述《xiezl (xzl)》之銘言：
: ※ 引述《wuyujen (Mason)》之銘言：
: : GRE 數學應該花時間在易錯題, 英文題,
: : 和陷阱題上, 因此在此分享Mason 準備
: : GRE 計量時所做錯的題目, 相信對大家
: : 有幫助!
: : In the figure to the right, circle O
: : has center O, diameter AB and a radius
: : of 5. Line CD is parallel to the diameter.
: : What is the perimeter of the shaded
: : region?
: : 圖：http://tinyurl.com/lvav575
: : (A) (5/3)*pi + 5*(3^0.5)
: : (B) (5/3)*pi + 10*(3^0.5)
: : (C) (10/3)*pi + 5*(3^0.5)
: : (D) (10/3)*pi + 10*(3^0.5)
: : (E) (10/3)*pi + 20*(3^0.5)
: : 這題不是很容易, 歡迎各路高手解題,
: 我不是高手，但來試試。
: 陰影部分的週長＝弧CE+線BC+線BE
: 半徑 r = 5
: (1) 弧CE＝ 1/6 圓週長 = 1/6 * 2 * pi * r = 5/3 pi
xiezl版友除了(1)的部分，其他都解得很好；而在(1)這個步驟裡
若忽略了一些細節或觀念稍有不清便容易出錯－我想這也是Mason
大分享此題的初衷－謹在此和大家一起澄清這些微妙之處：
xiezl版友這個步驟出錯有以下兩種可能原因－
一、「把弧CE的長看成扇形CBE的弧長來解」
這是很誘人的想法，因為我們能立刻知道∠CBE = 60度（x = ∠DCB = 30度，
內錯角）；接著，我們會把扇形CBE看成「以B為圓心的另一個大圓」的一部分，
這樣我們便能用比例解出弧CE的長。不過，看似扇形的CBE其實並非嚴格意
義上的扇形－所謂的扇形，中心頂點到扇形弧上任一點的距離應該都相等，
也就是線段BC、線段BE及線段AB三者的長應當相等；但我們發現線段BC = 線段
BE = 5 sqrt(3)，而線段AB = 10（比前兩者長），到此我們確定這樣的解題想
法行不通，因為求出來的弧長不會是弧C(A)E的，反而變成弧CFE的（如果我們
在線段OA上靠近A處取一點F使得線段BF = 5 sqrt(3)的話）。不過，根據xiezl
版友在步驟(1)裡把半徑r用5來代這一事實看來，他採用的應該不是（一、）的
想法，而是以下的（二、）。
二、「正確使用扇形COE來解弧CE的長，卻把∠COE算（看）成60度」
這題的圖形絕對是刻意把∠COE畫得不像鈍角（120度）的。GRE官方明確表示，
「幾何圖形未必是照著精確比例畫出的」；請參考OG 2nd P.166的這段話：
"Geometric figures, such as lines, circles, triangles, and quadrilaterals,
are not necessarily drawn to scale. That is, you should not
assume that quantities such as lengths and angle measures are as they
appear in a figure."
以上僅節錄，完整上下文各位請參見OG。
在數學裡面，任何答案的證成（justification）永遠是您的算式，而非您的感覺－
在這點上，數學歌頌著"manual" work（自己動手做）之美。
回歸此題的計算。連接起 OC 和 OE，那麼以下兩種想法都能讓您獲致∠COE = 120度
的結論－
(a) ∠COA是△BOC的外角，所以∠COA = ∠OBC + ∠OCB = 60度（線段OB = 線段OC
= r，所以∠OBC = 30度 = ∠OCB）。∠AOE如法炮製，如此便得∠COE = 120度。
(b) 根據國中所學的「圓周角定理（the inscribed angle theorem）」，一圓心
角若和一圓周角對應同一弧，則此圓心角度數為此圓周角度數的兩倍〔基本上，(a)
便可證出(b)〕。此題中，圓周角CBE和圓心角COE皆對應弧CAE，所以∠COE =
2∠CBE = 120度（如EZ0928大所述）。
經歷以上的討論，我們不難發現，只要把xiezl版友本來的「弧CE＝ 1/6 圓週長
= 1/6 * 2 * pi * r = 5/3 pi」改成「弧CE＝ 1/3 圓週長
= 1/3 * 2 * pi * r = 10/3 pi」便行了－答案由(B)改成(D)。
: (2) 三角形 ABC 為 30-60-90 之直角三角形
小細節一提：數學上的表達習慣作「明確的對應」－這在相似多邊形的表達上更
是重要－因此建議寫成「△BAC 為 30-60-90 之直角三角形」，角度
都正確地對應，如此便能毫無破綻。：）
: 故線BC(股) 為 線AB(斜邊) 之 sqrt(3)/2 倍
: 線BC ＝ 2 * r * sqrt(3)/2 = 5 sqrt(3)
: (3) 線BE ＝ 線BC
: 故斜線部分之週長為 5/3 pi + 10 sqrt(3)
: 是不是這樣啊？
最後，terminology自然也是重要的，以下為上文碰觸到的一些術語的英文－
1. 弧：arc (聯想arch)
2. 扇形：sector（可以想成，它是圓形的一個"section"，幫助記憶）
3. 內錯角：alternate interior angles
4. 線段：line segment (cf. 線：line，射線：ray)
5. sqrt：square root，平方根（cf. cube root，立方根）
6. 鈍角：obtuse angle
(cf. 銳角：acute angle，直角：right angle，180度角：straight angle)
7. 外角：exterior angle
8. 圓周角：inscribed angle (cf. 圓心角：central angle)
9. 股：leg
10.斜邊：hypotenuse
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※ 編輯: Hippocrates (114.45.22.9), 04/22/2015 17:34:06
推
04/22 22:43, , 1F
04/22 22:43, 1F
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本文引述了以下文章的的內容：
完整討論串 (本文為第 3 之 3 篇)：