Re: [問題] 快速積分技巧

看板FJU-Math-98作者smartlwj (下次再努力)時間13年前 (2011/04/05 00:15)推噓5(5推 0噓 1→)

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※ 引述《down200n (down200n)》之銘言： : 真是很刺眼的鑰匙.. : 不說廢話= = http://www.wretch.cc/blog/attoyao/24729252 : ∞ : ∫ x*e^(-ax)*sin(bx) dx , a>0 : 0 : 看到題目我只想一直做part.. 有請大大說明圖上的方法~~~~~ 本來想用推文的，可是會囉哩囉嗦，所以就回文順便賺p幣 =================騙P幣分隔線================================ 這題當然是用 integral by parts(簡寫為IBP) 就ok 目前我也沒有去想有沒有其它方法首先一開始出現的圖就是所謂的IBP IBP： ∫udv = uv -∫vdu ∞ -ax -ax ∫ x e sin(bx) dx = ∫x d (e / a^2+b^2)[-asinbx-bcosbx] 0 也就是令 u = x, dv = e^(-ax)sin(bx)dx 則 du = dx, v = 那一串所以動作就是圖上所畫的 D(表示微分 u) I(表示積分 dv) 第一步 x (u) e^(-ax)sin(bx) ( dv) 第二步 1 (du) 那一串 (∫dv) 至於為什麼圖上所畫的地方有正負號?? 原因是因為IPB告訴你 uv- ∫vdu 因此第一步的地方是正，而第二步的地方是負以此類推，如果這個函數無法用一次IBP算出來要做很多次的話，就要正負正負的一直算。 ==========================騙P幣用的================================== 例: ∫lnxdx (法一:正規解法) ∫lnxdx = ∫(lnx) dx = xlnx - ∫x dlnx = xlnx - ∫x* (1/x)dx = xlnx - ∫dx = xlnx - x + C (常數) (法二:課本解法) let u = lnx , dv = dx then du = (1/x)dx , v = x hence by IBP ∫udv = uv - ∫vdu => ∫lnxdx = xlnx - ∫x*(1/x)dx = xlnx - x + C (法三:速解法) D I + lnx 1 ↘ - 1/x → x => + xlnx - ∫1dx = xlnx - x +C 以上三種是不是都一樣呢!!?? 其實速解法只不過就是法IBP先分解好而已...但有時後還是很好用請看以下例子例二 3 ∫x sinx dx D I + x^3 sinx ↘ - 3x^2 -cosx ↘ + 6x -sinx ↘ - 6 → cosx 3 2 => -x cosx + 3x sinx + 6xcosx - ∫6cosx dx 3 2 = -x cosx + 3x sinx + 6xcosx - 6sinx + C (C為常數) 以正規法解一次 3 3 ∫x sinxdx = ∫x d(-cosx) 3 3 3 2 = -x cosx + ∫cosxd(x ) = -x cosx + ∫3x cosxdx 3 2 = -x cosx + ∫3x d(sinx) 3 2 = -x cosx + 3x sinx - ∫6xsinx dx (換∫6xd(-cosx)) 3 2 = -x cosx + 3x sinx - (-6xcosx + ∫6cosxdx) 3 2 = -x cosx + 3x sinx + 6xcosx - 6sinx + C 得到一樣的結果!! ============================騙騙騙騙騙================================ 最後，你可能會想問要怎麼知道對誰微或對誰積分呢?? 這個問題我沒辦法很精確的回答你，但可以簡單的說就是微分的對象是要越微越簡單的會比較好算!! 也就是大概要挑微分後可能會變常數的函數。以上就是有關分部積分的簡單說明... -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 112.104.130.20

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samhou6

04/05 01:06, , 1^F

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s0t7810528

01/19 00:03, , 2^F

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