Re: [請益] 突然想到一個賽局
看板Economics作者acersh (Acer serrulatus Hayata)時間13年前 (2011/07/02 01:23)推噓1(1推 0噓 0→)留言1則, 1人參與討論串2/8 (看更多)
一、
Payoff ：零和賽局。
策略空間：「蘭」（策略代號為Apple）、「哀」（策略代號為X）
Players ：4人（注意莊家其實可以當成是Nature）
以下在不影響一般性的原則下，令莊家（H）選「蘭」！
順序 ：
1.莊家攤牌。
2.其餘三人在看到莊家牌之後，同時攤牌。
3.
if 3:1，則
賽局結束。少數派獲勝。贏家得到 1的報酬，輸家得到 0。
Else 回到Step 1
二、處理只有一回合的賽局：
令Step 3，若非 3:1，則賽局結束，所有人得到很小的正數報酬ε（令ε→0）。
Sol.
（一）
在不影響一般性的原則下，令莊家（H）選「蘭」！
則，
此時對於其他三人而言，選擇「哀」是優勢策略！！
分析：
在莊家選蘭的情況下，自己也選蘭，蘭至少得到兩票。投票結果「蘭：哀」只能
夠是 4:0、3:1、2:2。
不論是哪一種，投給蘭的報酬保證是 0：
在4:0、2:2 的情況下，得到 ε （＝0）
在3:1 的情況下，得到 0 （Real Zero）
∴投小哀可能是優勢策略。
∵對其餘三人而言，是對稱的。對稱解存在。
∴其中一個純粹策略NE為：
在看到莊家投給蘭的情況下，對應策略：
投給蘭的機率 投給哀的機率 報酬
莊家 1 0 1 （100萬元）
其餘三人 0 1 0 （Real Zero）
……1
（注意：在ε→0 時，其餘三人沒有誘因 脫離 此NE）
（二）其餘三人瞭解投給哀報酬也保證是0後，也可能投給蘭。
在看到莊家投給蘭的情況下，是否存在如下全部人投蘭的純粹策略NE呢？
投給蘭的機率 投給哀的機率 報酬
莊家 1 0 ε
其餘三人 1 0 ε
呢？
Ans：此種純粹策略NE不存在
∵因為其餘三人有人會deviate，改投哀可獨享 1的報酬(100萬元）。
（三）混和策略NE
在看到莊家投給蘭的情況下，
假定存在混和策略NE：
投給蘭的機率 投給哀的機率 期望報酬
莊家 1 0 0
其餘三人 P 1-P 0 （∵存在對稱解）
分析：
由於莊家必投蘭，因此僅需要考慮其他三人的策略。
其他三人的 最後的 贏家 此結果下的 機率
投票狀況 投票結果 贏家報酬
（輸家得0）
蘭：哀＝3:0 4:0 無 ε
蘭：哀＝2:1 3:1 投哀的人 1
蘭：哀＝1:2 2:2 無 ε
蘭：哀＝0:3 1:3 投蘭的人（莊家）0
Max [我的期望報酬]＝P＊[我投蘭的報酬]＋(1-P)＊[我投哀的報酬] ……2
p
其中：
蘭：哀 報酬
↓ ↓
我投蘭的報酬 ＝我投蘭且全部恰好四人投蘭（4:0，得到ε）
＋我投蘭且全部恰好三人投蘭（3:1，得到 0）
＋我投蘭且全部恰好兩人投蘭（2:2，得到ε）
＋我投蘭且全部恰好一人投蘭（不可能出現）
2 2
＝P ＊ε＋2P (1-P)＊0＋(1-P)＊ε
2 2
＝[(P＋(1-P)]＊ε
＝[1－2P(1-P)]＊ε ……3
※注意： 莊家 1的機率投蘭，0 的機率投哀；
其他兩人 P的機率投蘭，1-P 機率投哀。
蘭：哀 報酬
↓ ↓
我投哀的報酬 ＝我投哀且全部恰好四人投蘭（不可能出現）
＋我投哀且全部恰好三人投蘭（3:1，得到 1）
＋我投哀且全部恰好兩人投蘭（2:2，得到ε）
＋我投哀且全部恰好一人投蘭（1:3，得到 0）
2 2
＝P ＊1＋2P (1-P)＊ε＋(1-P)＊0
2
＝P ＋2P(1－P)＊ε ……4
式3 4代回2
2
期望報酬EU＝ P[1－2P(1-P)]＊ε＋(1-P)[P ＋2P(1-P)＊ε]
ε→0
2
＝(1-P)P
FOC
2
3P －2P ＝0
=>P＝0 或 2/3
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不知道有沒有想錯……
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 59.115.23.127
推
07/02 09:30, , 1F
07/02 09:30, 1F
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