Re: [量化問題]電子出現的probability
※ 引述《theory (真好人˙希爾瑞)》之銘言:
: ※ 引述《karena817 (Karena)》之銘言:
: : 題目是
: : The ground-state wavefunction of a hydrogen atom is
: : http://tinyurl.com/ypbgqa (不好意思,不會用電腦打)
: : where a0 =53pm(the bohr radius)
: : calculate the probability that the electron will be found within a small
: : sphere of radius 1.0pm centred on the nucleus.
: : 知道是要用Ψ*Ψ
: : 但是後面的積分部分卻不知道該怎麼處理 = =
: : 麻煩有算過這題的版友指導一下
: : 謝謝
: 不好意思之前想太快弄錯了 orz
: 所以導了一個積分公式,不知道對不對..(定性上看起來是對的啦 @@)
: R
: ∫(r^2)exp(-ar)dr = [2/(a^3)] - exp(-ar){[(R^2)/a]+[2R/(a^2)]+[2/(a^3)]}
: 0
: 有限上界正比於 R,exponential 裡的 a 代換成 2/a0
: 其他正比常數另外乘上....有錯請指教 orz
這題可以用分部積分
但也有取巧不用硬積的技巧:
∫(x^2)exp(kx)dx
我們知道 ∫exp(kx)dx = k^(-1) exp(kx) + const.
左邊 (LHS) 對 k 微分 (Dk 是對 k 微分的算符)
LHS = Dk(∫exp(kx)dx) = ∫x exp(kx)dx
(看出其中奧妙了嗎XD)
而右邊:
RHS = Dk (k^(-1) exp(kx) + const.)
= -k^(-2) exp(kx) + x k^(-1) exp(kx) = exp(kx) [ x k^(-1) - k^(-2) ]
然而左邊再對 k 微分一次就會得到目標積分式 ∫(x^2)exp(kx)dx
RHS = Dk (exp(kx) [ x k^(-1) - k^(-2) ])
= x exp(kx) [ x k^(-1) - k^(-2) ] + exp(kx) [ -x k^(-2) + 2k^(-3) ]
= exp(kx) [x^2 k^(-1) - 2x k^(-2) + 2k^(-3)]
最後再把 k 代回去就可以啦~
這招在 exp 上面是 x^2 的時候也很常用
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