Re: [問題] 線與圓 聯立方程式
(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 ... (1)
ax + by + c = 0 ... (2)
(一)．若 |ah-bk+c| / sqrt(a^2 + b^2) > r , 則不相交
(二)．若 |ah-bk+c| / sqrt(a^2 + b^2) = r , 相切
(三)．若 |ah-bk+c| / sqrt(a^2 + b^2) < r , 相割
(如果是 case (二)、(三)，進行以下運算)
化簡 (2)
x = (-1/a)(by+c) ... (3)
(3) 代入 (1)
[-(by+c)/a - h]^2 + (y-h)^2 = r^2
=> (by/a)^2 + 2(b/a)(c/a+h)y + (c/a+h)^2 + (y^2-2yk+k^2) = r^2
=> ( (b^2/a^2)y^2 + (2bc/(a^2) + 2bc/a)y + (c/a+h)^2 + (y^2-2yk+k^2) = r^2
=> [ (b^2)/(a^2) + 1 ] y^2 +
[2bc/(a^2) + (2bh)/a - 2k] y +
[(c/a+h)^2 +k^2 - r^2] = 0 ... (4)
令 [ (b^2)/(a^2) + 1 ] = a1
[2bc/(a^2) + (2bh)/a - 2k] = a2
[(c/a+h)^2 +k^2 - r^2] = a3
則 (4) 可變為 a1*y^2 + b1*y + c1 = 0 ... (5)
解 (5) 之方程式解，可得
y1 = (-b1 + sqrt(b1*b1-4ac)) / (2a1), 代入 (3), 得 x1 = /(b1y1+c)/a1
y2 = (-b1 - sqrt(b1*b1-4ac)) / (2a1), 代入 (3), 得 x2 = /(b1y2+c)/a1
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之前有寫過一份 code, 重點部份如下所示
int Circle_Line(const double h,
const double k,
const double r,
const double a,
const double b,
const double c,
double *x1,
double *y1,
double *x2,
double *y2)
{
const double a1 = (b*b/a/a+1.0);
const double b1 = 2.0*b*c/a/a + 2.0*b*h/a - 2.0*k;
const double c1 = (c/a+h)*(c/a+h) + k*k - r*r;
double delta = fabs(a*h+b*k+c) / sqrt(a*a+b*b);
if(delta > r) { // 不相交, 無解
return 1;
}
else if (delta == r) { // 相切, 唯一解
*y1 = -b1/2.0/a1 + sqrt(b1*b1-4*a1*c1)/2.0/a1;
*x1 = -b1*(*y1)/a1 - c1/a1;
*y2 = -b1/2.0/a1 - sqrt(b1*b1-4*a1*c1)/2.0/a1;
*x2 = -b1*(*y1)/a1 + c1/a1;
return 2;
}
else if(delta < r) { // 相割, 有二解
*y1 = -b1/2.0/a1 + sqrt(b1*b1-4*a1*c1)/2.0/a1;
*x1 = -b1*(*y1)/a1 - c1/a1;
*y2 = -b1/2.0/a1 - sqrt(b1*b1-4*a1*c1)/2.0/a1;
*x2 = -b1*(*y1)/a1 + c1/a1;
return 3;
}
else { // 保留錯誤
return 0;
}
}
// ===================================================
翻寫過的測試程式碼如下連結 http://ppt.cc/X@7O
使用此程式請注意以下問題：
(1) 沒考慮浮點數精度問題 (這點很重要!!)
(2) 輸入之圓一定要是標準式 (如果只有一般式，請先寫個程式轉標準式..)
(3) 如果你會數值分析的話，其實 [-(by+c)/a - h]^2 + (y-h)^2 = r^2
在這個式子裡面你就可以用數值分析法去求 y 值了, 只是化簡完會比較快
( 有關方程式求解的數值分析法, 可以參考這裡 http://ppt.cc/SjKa )
(4) code 只是簡單的範例, 其它的要擴請自行擴, 要封請加油 ^^
(5) 用 NTUxp 大大的方式解得更快, x = h+r*cosΘ, y=k+r*sinΘ,
a*(h+r*cosΘ) + b*(k+r*sinΘ) + c = 0
可利用 sinΘ = sqrt(1-cosΘ*costΘ) 方式
再次代入求解, 如有興趣, 可比較這二種方法之精度何種較正確.
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我期待 我等待
肩狹骨上的翅膀早些長出來
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※ 編輯: tropical72 來自: 180.177.76.142 (08/28 15:30)
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討論串 (同標題文章)
完整討論串 (本文為第 4 之 4 篇)：
問題
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