[請益] 國三數學問題

看板CS_TEACHER作者 (S)時間6年前 (2017/10/21 03:42), 編輯推噓6(6推 0噓 19→)
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如圖是學生在學校的A卷題目 但試過內心的許多性質和公式就是求不出來 雖然可以看得出是6.8.10的直角三角形但解法毫無頭緒 還請各位前輩不吝指教 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.175.143.164 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/CS_TEACHER/M.1508528535.A.1C1.html
推
10/21 04:03, 6年前 , 1F
高中通常會直接爆點到直線距離。可是國中的話，用範圍限制
10/21 04:03, 1F
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10/21 04:06, 6年前 , 2F
來試試看：B點比內切圓最高的點還高→q>4
10/21 04:06, 2F
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10/21 04:07, 6年前 , 3F
而且p>q→∠B>∠A→∠A<45度→q<4+2√2
10/21 04:07, 3F
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10/21 04:13, 6年前 , 4F
所以q只能是5或6。若q=5，利用頂點到切點等距可算出p=12，
10/21 04:13, 4F
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10/21 04:14, 6年前 , 5F
此時AB=13。若q=6，同理可算出p=8，此時AB=10。有二解。
10/21 04:14, 5F
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10/21 04:17, 6年前 , 6F
這題其實還滿有趣的。另一個反向操作的方法是：
10/21 04:17, 6F
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10/21 04:23, 6年前 , 7F
用內心面積公式算斜邊長=pq/2-p-q，為有理數，所以三邊長
10/21 04:23, 7F
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10/21 04:25, 6年前 , 8F
的比例是一組畢氏數組。只看二股比，即使約到最簡都一定有
10/21 04:25, 8F
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10/21 04:35, 6年前 , 9F
一個偶數，所以斜邊長也是整數。計算邊長較短的幾種三角形
10/21 04:35, 9F
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10/21 04:36, 6年前 , 10F
可知道，邊長3,4,5時，內切圓半徑=1，所以2倍放大圖的斜邊
10/21 04:36, 10F
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10/21 04:37, 6年前 , 11F
長10=AB。5,12,13的內切圓半徑=2，得到第二個AB=13。
10/21 04:37, 11F
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10/21 04:38, 6年前 , 12F
8,15,17的內切圓半徑=3，之後的都愈來愈大了，所以沒了。
10/21 04:38, 12F
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10/21 04:39, 6年前 , 13F
嚴謹一點就要用到m^2-n^2,2mn,m^2+n^2這組參數式，不過這
10/21 04:39, 13F
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10/21 04:40, 6年前 , 14F
樣就超出範圍了。詳解做法應該要先限制範圍才是好的。
10/21 04:40, 14F
推
10/21 08:22, 6年前 , 15F
從斜邊=pq/2-p-q 可以推出(p-4)(q-4)=8 然後找正整數解就
10/21 08:22, 15F
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10/21 08:22, 6年前 , 16F
可以了
10/21 08:22, 16F
推
10/21 08:24, 6年前 , 17F
因為p>q 所以只有兩組 (12,5) (8,6)
10/21 08:24, 17F
推
10/21 12:01, 6年前 , 18F
利用圓切線性質就可以了
10/21 12:01, 18F
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10/21 12:01, 6年前 , 19F
10/21 12:01, 19F
推
10/21 12:03, 6年前 , 20F
修正一下，兩邊同時+4那邊的括號裡面是(a+b)
10/21 12:03, 20F
推
10/21 12:28, 6年前 , 21F
1/2*r*（p+q+斜邊長）=1/2*p*q---(1式)，r=(p+q-斜
10/21 12:28, 21F
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10/21 12:28, 6年前 , 22F
邊長)/2---(2式)，利用斜邊長相等，可以推得樓樓上大
10/21 12:28, 22F
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10/21 12:28, 6年前 , 23F
大的因式分解等式，又可以避開和的平方公式。
10/21 12:28, 23F
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10/21 14:23, 6年前 , 24F
這題目對國中生來說應該是會困在因式分解
10/21 14:23, 24F
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10/21 16:59, 6年前 , 25F
感謝樓上老師的幫忙 每個方法我會再練習一遍
10/21 16:59, 25F
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