Re: [解題] 高一數學 多項式
※ 引述《SJOKER (高斯教授)》之銘言：
: ※ 引述《nasada12 (NASA)》之銘言：
: : 1.年級： 高一
: : 2.科目： 數
: : 3.章節： 多項式
: : 4.題目：
: : 設三次多項式f(x)=(x-1)g(x)，g(x)=ax^2+bx+c，a.b.c為實數
: : 若a。f(0)>0，f(3)<0，f(5)>0，則下列哪些選項正確?
: : (A) a<0
: : (B) b<0
: : (C) c<0
: : (D) 5a+b>0
: : (E) a+b+c<0
: : 答案 CDE
: : 5.想法：
: : a(-1)g(0)>0 得 ac<0
: : 2g(3)<0 得 9a+3b+c<0
: : 4g(4)>0 得 16a+4b+c>0
: ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
: 此處應為4g(5)>0 得 25a+5b+c>0 (雖然並未用到)
: : f(1)=0g(1)=0
: : 這題感覺有點刁鑽，我沒用嚴謹的解法，而是很不可靠的觀察
: : ac<0 所以要馬a正c負，要馬a負c正
: : 然後比較第二行第三行，發現a增加很多，讓整體算式從負的變正的
: : 16a+4b+c-(9a+3b+c)=7a+b
: : 因此a大概是正的吧??? (甚麼邏輯XD)
: : 所以c<0
: : 然後g(1)可能會是任意數... 所以...
: : (腦子已經變漿糊了.....)
: : 在猜想說這題是不是要用到 d(x)[f(x) 且 d(x)[g(x) 則 d(x)[mf(x)+ng(x)
: : 為了逃避報告而算數學反而遇到另個障礙 \⊙▽⊙/!
: 提供一個想法,如有錯誤還請不吝指正:
: 假設g(x) = 0 有兩個根 m 與 n
: f(3) < 0 且 f(5) > 0 , 表示3~5中間有一個實根屬於g(x) , 令其為 m
: 另外x = 1也是f(x)的其中一個實根,再引用原po所討論之ac < 0
: 可轉換為 c/a < 0 , 這表示g(x)的兩根乘積 < 0 , 也就是另一根 n < 0
: 由於對f(x)而言已確定三個實根,且f(5) > 0 , 表示首項係數 a > 0 ... (A)錯
: 於是 c < 0 ... (C)對
: 另外由於g(x)開口向上,且兩根一正一負,故g(1)必 < 0 (兩根之間在x軸以下)
: 所以a + b + c < 0 ... (E)對
: 最後,因為g(x)的兩根之和 m + n < 5 (因為m < 5 且 n < 0), 所以-b/a < 5
: 整理可得5a + b > 0 ... (D)對
: 而(B)選項b的正負無法判斷,我們可以取f(x) = (x+5)(x-1)(x-4) , 此時有
: g(x) = x^2 + x -20 , b > 0
: 僅供參考
我認為b的正負是可判斷的，理由如下
f(3) = 2(9a+3b+c) < 0, f(5) = 4(25a+5b+c) > 0
=> 25a+5b+c > 9a+3b+c => 16a+2b > 0 => 8a+b>0 ...(1)
f(2) = 4a+2b+c < 0, f(5) = 4(25a+5b+c) > 0
=> 25a+5b+c > 4a+2b+c => 21a+3b > 0 => 7a+b>0 ...(2)
(1)+(2): 15a+2b>0 => 5a + 2b/3 > 0 => 5a + b > b/3 > 0 => b > 0
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◆ From: 211.79.59.62
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噓
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