[重積] 97 元智資管(三) 三重積分
5. Find the volume of the solid T enclosed by the surface
(x^2 + y^2 + z^2)^2 = 2z(x^2 + y^2)
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想法是利用球座標進行積分
(1)
Let x = ρsinψcosθ , y = ρsinψsinθ, z = ρcosψ
|J| = (ρ^2)sinψ
(2)
ρ^4 = 2(ρ^3)(cosψ)(sinψ)^2
Assume ρ ≠ 0
ρ = 2(cosρ)(sinρ)^2
(3)
Then Volume = ∫dV = ∫∫∫ dxdydz
= ∫∫∫ (ρ^2)sinψ dρdψdθ
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只是以這題來說，上下限該如何決定？
θ from 0 to 2pi 應該沒什麼大問題
ρ from 0 to 2(cosρ)(sinρ)^2 應該也沒問題
ψ from 0 to pi/2 or pi？ 以原題來說 z 恆正嗎?
原式作移項得到 z = (x^2 + y^2 + z^2)^2 / [2(x^2 + y^2)]
雖說右式恆正，可是裡面包含了z，可以直接這樣看嗎？
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